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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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il  n’y  aura  qu’une  seule  des  deux  progressions  (1)  et  (2), 
qui  puisse  contenir  des  nombres  bi-carrés. 
4)  La  démonstration  la  plus  simple  du  théorème  de 
Wilson  est,  sans  conlredit,  celle  qui  repose  sur  la  con- 
sidération des  racines  primitives.  Si  l’on  désigne  par  ç 
l’une  des  racines  primitives  du  nombre  premier  /?,  l’on 
aura 
q1.q2.  Q3. . . .qP — 1 EE  12.3..  . ( p — 1)  (mod.  p), 
et  comme 
1 +2  + 3+  • • • • + (/> — I)  =p ■ ? 
il  viendra  de  suite 
ç P'  2 =(—l)p=—\  = i-2.'i (j)  I)  (mod.  p) 
en  vertu  de  la  condition 
p 2 — — 1 (mod.  p). 
Donc,  définitivement 
1.2.  3. . . .(/?— 1)  -{-  lEEo(mod.  p). 
En  suivant  cette  marche  on  démontrera  avec  la  même 
acilité  la  proposition  suivante  : 
Le  produit  1.2. 3....(/? — 1)  peut  toujours  être  dé- 
omposé  en  deux  autres  produits  P et  P , contenant 
hacun  un  nombre  — de  facteurs , de  façon  que  la 
à 
imme  P-\-P'  ou  la  différence  P — P soit  divisible 
ar  p,  suivant  que  p est  de  la  forme  4Â-f-3  ou  4Â-|-1. 
Si  p est  de  la  forme  4A-4-3,  nous  supposerons  P égal 
i produit  des  facteurs  pris  dans  la  suite  de  ceux  des 
>mbres  naturels  1,2,3 ,..../? — 1 qui  sont  congrus  à 
, ç2,  ç3 ....  ç 2 , et  P au  produit  des  facteurs  re- 
P±1 
tnts,  c’est-à-dire  à ceux  qui  sont  congrus  à p 2 , 
f— a p— 'î 
i 2 p . Nous  aurons  donc 
12  3 /) — 1 p-f-1  p — -1 
.PEE  p . p . p . . . .p  2 =p  4 ’ 2 (mod.  p), 
i comme 
p 2 = — 1,  />  = U -f  3, 
i!  în  résultera 
PEE  ( — 1 (mod.  p). 
I même,  en  supposant 
. R±L  P±L  P™1  *p—i.R=k 
P=p  2 p 2 p =p  4 2 (mod./?), 
on  trouvera 
3p—  1 P 1 3p— 1 3Ä-+-2 
P = ç 4 * 2 EE(-l)  4 =(-l)  (mod.  p). 
De  là 
P+P'=(— l^  + O- l)3^2(mod.  p). 
Or,  que  k soit  pair  ou  impair,  le  second  membre  de 
cette  congruence  sera  nul;  donc,  dans  l’hypothèse  de 
/?=4A'  —J—  3,  on  aura 
P -j- PfEE  o (mod . /?  ). 
Si  p est  de  la  forme  4Ä-J-1,  nous  pourrons  supposer 
PEEp'-p^ — l.p3.p^ — 1 *.p5.p^- — 5. . , . =p^’  4 
et 
P,=p2.p/>-2.p4.p/’-4  p6.p P-*. . . . = 9pf~w 
puisque  p — 1 est  divisible  par  4.  Donc 
P — PrEE 0 (mod.  p), 
ce  qu’il  s’agissait  de  prouver. 
On  peut  observer  encore  que,  dans  le  cas  de  />=4A-f-3, 
l’une  des  deux  sommes 
P-j-1  ou  P'- f-1 
sera  nécessairement  divisible  par  p.  En  effet,  cela  re- 
vient à dire  que  le  produit 
(P+l)  (P'+l)=PP'+P-J-P'-f 1 
est  congru  à zéro  suivant  le  module  p.  et  c’est  ce  qui  a 
évidemment  lieu  en  vertu  de  la  condition  P+P^EEO 
(mod.  p)  et  du  théorème  de  W i 1 so  n qui  donne  PP  -f-  l — 0 
(mod.  p). 
On  verra  encore  que  la  même  propriété  subsiste  pour 
l’une  des  différences 
P — 1 ou  P' — 1, 
puisque  l’on  a évidemment,  comme  plus  haut, 
(P— 1)  (P— 1)  = PP  — (P-j-P'j  + l EE  0 (mod.  p). 
En  combinant  ces  deux  propriétés,  relatives  aux  nom- 
bres premiers  de  la  forme  4&-j-3,  on  arriverait  encore  à 
d’autres  propositions  du  même  genre,  sur  lesquelles  nous 
ne  nous  arrêterons  pas.  Observons  seulement  qu’on 
rarvient  à ces  différentes  conclusions  en  considérant 
que  les  expressions  précédentes  de  P et  P'  ne  peuvent 
être  congrues  qu’à  -j-1  ou  — 1 suivant  le  module  p. 
Je  terminerai  par  la  démonstration  d’un  corollaire 
intéressant  du  théorème  de  Wilson,  corollaire  qui  ne 
me  semble  pas  avoir  été  remarqué.  Voici  en  quoi  il 
consiste. 
