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Bulletin  physic o - mathématique 
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so  ergab  sich  die  Noth  Wendigkeit , genauer  nach  den 
Ursachen  dieser  Schwierigkeit  zu  forschen  , und  ich  er- 
laube mir , was  ich  darüber  gefunden  , hier  vorzulegen. 
Zu  einer  wirklichen  Zahlenhestimmung  , oder  vielmehr 
zur  Kenntniss  der  Mittel , durch  welche  eine  solche  in  * 
allen  Fällen  erreichbar  wäre,  wenn  es  darauf  ankäme, 
bin  ich  zwar  nicht  gelangt;  wenigstens  aber  wird  das 
Folgende  zeigen,  dass  nur  der  allerdings  fast  unüber- 
sehbare Umfang  einer  auf  sehr  viele  und  sehr  grosse 
Zahlen  führenden  Rechnung  ihrer  Ausführung  entgegen- 
steht. Es  würde  ein  schöner  Fortschritt  der  Analysis  sein, 
wenn  man  dahin  gelangte  , dieses  Hinderniss  durch  tref- 
fende Näherungen  zu  überwinden  , wie  es  in  anderen 
Fällen  , die  mir  jedoch  weniger  verwickelt  scheinen  als 
der  vorliegende  , gelungen  ist. 
Ich  bezeichne  die  Felder  des  Schachbrettes  durch  Zah- 
len , welche  man  als  die  Coordinaten  ihrer  Mittelpuncte 
ansehen  kann  , und  setze  den  Anfang  der  Coordinaten 
in  ein  Eckfeld.  Für  dieses  ist  also  x = 0 , = für 
das  ihm  schräg  gegenüberstehende  Eckfeld  x=7,  jy=7. 
Das  Feld,  für  welches  x=a,  y=b,  bezeichne  ich  durch 
(a,  b) , wobei  die  Ordnung  der  Buchstaben  zu  beachten 
ist.  Von  (a,  b ) kann  der  Springer  mit  einein  Schritte 
auf  alle  diejenigen  Felder  gelangen  , welche  durch 
(fl±2,£±  l)  und  durch  (a±l,&±2)  angedeutet  wer- 
den , wofern  ihre  Coordinaten  die  Grenzen  0 und  7 
nicht  überschreiten.  Ferner  belege  ich  jedes  Feld  mit 
einem  Zeiger,  d.  h.  mit  einer  der  Zahlen  von  1 bis  64, 
in  ganz  beliebiger  Ordnung  , so  dass  jedem  Zeiger  nur 
ein  Feld  entspricht. 
Es  sei  a der  Zeiger  irgend  eines  Feldes  und  ß,y,8,... 
seien  die  Zeiger  aller  derjenige^  Felder,  welche  der 
Springer  von  a aus  in  einem  Sprunge  erreichen  kann  , i 
und  welche  ich  deshalb  die  dem  a benachbarten  Felder 
nennen  will  , worunter  also  die  anliegenden  nicht  zu 
verstehen  sind.  Wird  nun  der  Springer  auf  ein  beliebi- 
ges Feld  A gesetzt,  so  entsteht  die  Frage,  auf  wie  viele 
verschiedene  Arten  er  in  n Sprüngen  das  Feld  a errei- 
chen kann  , wenn  die  wiederholte  Besetzung  jedes  Fel- 
des gestattet  ist;  es  sei  wn  die  Anzahl  dieser  Arten. 
(Wenn  man  die  Felder  in  gerade  und  ungerade  (schwarze 
und  weisse)  einlheilt,  so  muss  a mit  A gleichartig  oder 
ungleichartig  sein,  je  nachdem  die  Anzahl  n der  Sprünge 
gerade  oder  ungerade  ist  ; wenn  diese  Bedingung  nicht 
. a 
erfüllt  ist,  so  ist  wn  = 0 ) 
Da  der  Springer  nur  unmittelbar  von  ß y 8 . . . aus 
auf  a gelangen  kann , so  erhält  man  zur  Bestimmung 
SKHUUH  WiPM'Uli  IIWaW.TOiMMffiB— a— a— 8BM— — B— — — — — — — 1 
a 
von  wn  sofort  die  Gleichung  : 
a ß y S 
wn  = wn— i + wn—i  + wn—  l + A' 
welche  den  nten  Sprung  auf  den  n — lten  zurückführt. 
Solcher  Gleichungen  erhält  man  für  jedes  Feld  eine, 
indem  man  dem  Zeiger  a nach  und  nach  alle  Werthe 
1,2,3...  bis  64  beilegt,  und  da  man  die  Werthe  von 
a 
wn  für  den  ersten  Sprung  oder  n = 1 sämmtlich  kennt, 
indem  sie  für  alle  dem  A benachbarten  Felder  = 1 , 
für  die  übrigen  = 0 sind  , so  kann  man  mit  Hülfe  des 
cc 
Systems  der  64  Gleichungen  A,  wn  für  jedes  Feld  und 
jede  Anzahl  von  Sprüngen  berechnen , wodurch  die 
Aufgabe  gelöst  wird. 
Dieselbe  Aufgabe  lässt  sich  auch  mit  der  Bedingung 
verbinden  , dass  irgend  ein  Feld  in  allen  Sprüngen  un- 
besetzt bleiben  soll.  Ist  ß ein  solches  abgeschlossenes 
Feld,  so  ist  w„  (für  alle  n ) = o,  und  zugleich  fällt 
aus  sl  diejenige  Gleichung  weg,  welche  den  Uebergang 
von  den  benachbarten  auf  das  Feld  ß ausdrückt;  man 
hat  also  in  A eine  Gleichung  und  eine  Unbekannte 
weniger  als  vorher.  UeberhaupL  fallen  aus  dem  Systeme 
A so  viele  Gleichungen  und  so  viele  Unbekannte  hin- 
weg, als  Felder  ausgeschlossen  werden,  und  die  Anzahl 
der  Gleichungen  A und  der  daraus  zu  bestimmenden 
Grössen  ist  in  jedem  Falle  der  Anzahl  der  noch  übri- 
gen (offenen)  Felder  gleich  und  heisse  i.  Man  belege 
die  offenen  Felder  mit  den  Zeigern  1,2,3  bis  i.  Es  sei 
a einer  derselben  und  ( a , b ) das  ihm  zugehörige  Feld; 
man  bilde  das  Product  wnxayb  für  dieses,  und  eben  so 
für  alle  übrigen  offenen  Felder , und  bezeichne  die 
| Summe  aller  dieser  Producte  durch  U„.  Es  ist  also  das 
a l 
Polynom  Un  =='  E wnxayb,  in  welchem  das  Summenzei- 
chen sich  auf  alle  Zeiger  von  a = 1 bis  a = i erstreckt, 
ein  alle  beim  n ten  Sprunge  möglichen  Fälle  zugleich 
umfassender  Ausdruck.  Um  nun  auf  den  n -f-  lten 
Sprung  überzugehen , muss  man  Un  mit  einem  dem 
Gange  des  Springers  nachgebildeten  Factor  U multipli- 
cireu  , nämlich  mit 
ü = (*  + 4)  (r!  +»  + (*!  + p)  (r  ■ + j) 
und  aus  dem  Producte  alle  diejenigen  Glieder  weglas- 
sen , in  welchen  negative  oder  auf  die  siebente  über- 
schreitende Potenzen  von  x oder  von  y Vorkommen,  so 
wie  alle  Glieder,  welche  sich  auf  die  ausgeschlossenen 
Felder  beziehen.  Dieses  Weglassen  bezeichne  ich  durch 
o 
Einschliessung  des  Producles  Un  U in  eckige  Klammern 
