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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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und.  nenne  [UnU ] ein  abgekürztes  Product.  Man  erhält 
also 
Uebergänge  von  (0,  0)  auf  (2,  3)  , nämlich  C — 13  3 
+ 3.3  + 13.7  + 19.10  + 17.6  = 431. 
Un-h  1 = E™n^_xXaJb  = [ Un  U] , 
welche  Gleichung  nur  eine  für  den  Ausdruck  bequeme 
Zusammenfassung  der  Gleichungen  A ist.  Ein  Beispiel 
mag  dienen  um  einige  Mittel  zur  Abkürzung  anzudeu- 
ten , welche  sich  bei  dieser  Rechnung  darbieten. 
y 
Auf  wie  viele  verschiedene  Arten 
ist  es  möglich,  auf  einem  Rechtecke 
von  dreimal  vier  Feldern  in  11 
Sprüngen  aus  einem  Eckfelde  (0,  0) 
auf  das  ihm  schräg  gegenüberste- 
hende Eckfeld  (2,  3)  zu  gelangen, 
wenn  das  Ausgangsfeld  (0,0)  gar  012 
nicht  mehr , und  das  Endfeld  (2 , 3)  nur  erst  mit  dem 
Ilten  Sprunge  besetzt  werden  darf? 
Hier  ist  also  (0,  0)  überhaupt  und  (2,  3)  bei  den  10 
ersten  Sprüngen  ausgeschlossen.  Die  abgekürzten  Pro- 
ducte  sind  bis  U6  folgende  : 
U1  = [U]  = x2y  -J-  xy 2 
U2  = [UyU]  = x2  -f-  y2  -f-  xy3 
ua  = X + 2y  + 2 x2y  -f  xy2 
UA  — 3x2  -f-  3y2  -f-  3 x2y2  -f-  4 xy3 
Us  = bx  -f-  10/  + lx2y  -f-  3 xy2  -j-  3 ly3 
U6  = 13x2  -f-  3 xy  -{-  13/2  -)-  19 x2y2  -j-  17  xy3. 
Anstatt  auf  diesem  Wege  weiter  zu  rechnen , fange 
man  von  (2,  3)  an  und  entwickele  eine  der  vorigen  ent- 
gegenkommende Reihe  von  5 Sprüngen  , wobei  ich  die 
abgekürzten  Producte  mit  Vx  u.  s.  f.  bezeichne.  Man 
hat  also 
Vx  — [x2y3LT\  = xy  -f-  y2.  Die  hier  obwaltende 
Symmetrie  macht  eben  die  Berechnung  der  V überflüs- 
sig , denn  man  erhält  Vn  dadurch  , dass  in  Un  , xa  mit 
x2  a,  yb  mit  y3  b vertauscht  wird.  Es  folgt  daher  so 
fort  : Vh  — 3x2  -J-  3 xy  -)-  ly2  -f-  '10 x2y2  -J-  6 xy3. 
Da  man  also  in  6 Sprüngen  auf  13  Arten  von  (0,  0)  auf 
(2,  0),  und  in  5 Sprüngen  auf  3 Arten  von  (2,  3)  auf 
(2,  0)  oder  von  (2,  0)  auf  (2,  3)  gelangt  , so  gieht  es 
überhaupt,  mil  Rücksicht  auf  die  Bedingungen  der  Auf- 
gabe, 13.  3 solche  Uebergänge  in  11  Sprüngen  von 
(0,  0)  auf  (2,  3),  bei  welchen  mit  dem  6ten  Sprunge 
das  Feld  (2,  0)  besetzt  wird.  Wendet  man  dieselbe  Be- 
trachtung auf  alle  bei  dem  6ten  Sprunge  erreichbaren 
oder  in  U6  vorkommenden  Felder  an  , so  erhält  man 
überhaupt  die  Anzahl  C der  mit  11  Sprüngen  unter  den 
Bedingungen  der  Aufgabe  möglichen  unterschiedenen 
Die  nähere  Untersuchung  der  Zahlen  wn  führt  auf 
gewisse  rücklaufende  Reihen , deren  Glieder  sie  sind. 
Es  ist  nämlich  nach  A 
a ß i 7 i 8 i 
a ß 7 Ä 
i + W„— i + . . . . 
« ß y 8 
wn-h\—i  = wn—i  + wn—i  + wn—i  + • • • 
Werden  diese  Gleichungen  der  Reihe  nach  mit  unbe- 
stimmten Coefiicienten  1,  e15  f2. . .e;  multiplicirt , und  die 
Producte  addirt  , und  setzt  man  : 
a a a a a 
w„  -f  + f2w„_2  + . . . . = Wn  , 
so  entsteht  die  F ormel  : 
a ß y 8 
wn+x  = + h n + Wn  + ...  B. 
welche  ein  System  von  i Gleichungen  vertritt,  da  sie 
für  cc  = 1 , a = 2 .a  = i gilt,  wobei  auf  der  rech- 
ten Seite  für  jedes  a die  Zeiger  der  ihm  benachbarten 
offenen  Felder  zu  setzen  sind.  Bestimmt  man  nun  die 
i Coefficienten  t durch  eben  so  viele  Gleichungen  : 
« 
W i-y-i  = 0 für  a — 1 , 2 , 3 , . . . i , so  folgt  aus  B, 
a a . . 
= 0,  und  überhaupt  Wn  — 0 für  jedes  n wel- 
ches grösser  ist  als  i , und  für  jedes  a von  1 bis  i.  Die 
a 
Werthe  von  w„  bilden  also  für  die  verschiedenen  n 
eine  rücklaufende  Reihe,  deren  Scale  für  alle  a dieselbe 
ist.  Man  kann  sie  daher  auch  als  die  Coefficienten  der 
Entwickelung  von  i rationalen  algebraischen  Brüchen 
betrachten,  welche  alle  denselben  Nenner  haben.  Es  sei 
t eine  unbestimmte  Grösse  , so  ist  ipt  = tl  - {-  fjt'““1 
e2tl — 2 -j-  . . . -J-  r;  dieser  Nenner  ; und  man  hat 
a a a. 
Bedient  man  sich  des  oben  angeführten  Zeichens  W 
in  einem  etwas  erweiterten  Sinne  , indem  man  setzt  : 
a a a a a 
Wi  = W-  + -f  f2wi_2  -f  - . . + fz-jW, 
und  überhaupt 
a a a a 
W i—k  = U'i — k + £{wi — k — 1 + ••••+  ei — h — lWl 
für  k = 0 , 1 , 2 . . . i — 1 , also  Wx  — wx  ; so 
ergiebt  sich  der  Zähler  cpt  wie  folgt , nämlich  : 
Cpt  = W;  + Wi_xt  + W;_2t2  + + WJ-'. 
Durch  Zerlegung  in  einfache  Brüche  erhält  man  eine 
