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Bulletin  physico-mathématique 
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unabhängige  Darstellung  von  wn.  Sind  die  Wurzeln 
der  Gleichung  ipt.  ==  0 alle  von  einander  verschieden 
und  heissen  sie  tl  , t,L  . . t[ , so  findet  sich 
îL  — _i l . . . 4.  : 
y <t  t—ty  t—i2  t—t-y 
folglich 
wn  = at  ly11—1  + «2  t2  1 + . • + ait'1—1. 
Die  Bestimmung  der  e beruhte  auf  den  Gleichungen 
a 
W;  , = 0 , oder  den  Gleichungen  : 
WH- 1 
+ Gw; 
+ 
f2  wi—\ 
+ 
• • • + 
G «G 
= 0 
2 
W«-H 
2 
+ G w; 
+ 
G W-l 
+ 
2 
G 
= 0 
wH-i 
i 
+ fx  W/ 
+ 
G Wi—  1 
+ 
. . . + 
G'  A 
= 0 
sie  wird  also  dann , und  nur  dann , nicht  ausführbar 
. L 2 3 i 
sein,  wenn  die  Determinante  f ; = I + wL  w2  w3.  . . . wt- , 
welche  den  Nenner  aller  e bildet,  gleich  Null  ist. 
In  diesem  Falle  können  aber  immer  folgende  i Glei- 
chungen bestehen  , nämlich  : 
iii  l \ 
Al—  i w/  + G Wi—y  + f2  w;—2  + • • + G— i = 0 1 
2 2 2 2 I 
A;—l  wi  + G Wi—L  + f2  Wi—2  + * • + G— 2 W1  = 0 ^ 
1 1 / — 1 i — 1 / 1 l 
A—  tW|  + W;_x  + f2  W/— 2 + ' • + G— 1 W1  = 0 l 
(4— AG  + fl  W;—  ! + G 'G— 2 + • • + G—  1 G = 0)  J 
und  es  muss  also  wenigstens  eine  die  Folge  aller  übri- 
gen sein  ; sei  es  die  letzte  , welche  deshalb  eingeklam- 
mert ist.  Die  unbekannten  s erhalten  dann  alle  den  Nen- 
1 2 3 / — 1 
ner  A; — x = I + wL  w2  iv3  . . . w- t , welcher  im 
A erstehenden  abgesondert  ist,  so  dass  , 
nur  noch  die  zugehörigen  Zähler  bedeuten.  Wenn  nun 
A; — 1 nicht  Null  ist,  so  gelten  hiernach  die  Gleichungen 
a 
W„  = 0 schon  von  n = i an  . und  die  ge  mein  sc  ha  ft- 
liehe  Scala  der  rücklaufenden  Beihen  wird  um  ein  Glied 
verkürzt.  Ist  aber  auch  A; t = 0,  so  ist  von  den  Glei- 
chungen C ausser  der  letzten  noch  eine , es  sei  die 
vorletzte,  Folge  der  übrigen,  und  die  Scala  nimmt  wie- 
der, um  ein  Glied  ab.  Durch  Fortsetzung  dieser  Schluss- 
weise scheidet  man  nach  und  nach  alle  diejenigen  unter 
den  Gleichungen  C aus,  welche  aus  den  übrigen  fol- 
gen, wäre  nun  sowohl  4/  = 0,  als  auch  A- t = 0, 
A; , = 0 , u.  s.  f.  bis  A y = 0 , so  müssten  alle  Glei- 
chungen C identisch , d.  h.  alle  Wy  = 0 sein  5 d.  h. 
der  Springer  hätte  für  den  ersten  Sprung  gar  keinen 
Ausgang  5 diesen  Fall  kann  man  aussehliessen. 
Hieraus  ergiebt  sich , wenn  es  unmöglich  ist , den 
a 
Gleichungen  TV-  , t = 0 zu  genügen,  weil  A;  = 0 ist, 
dass  es  alsdann  immer  möglich  sein  muss , einem  ähnli- 
ch 
chen  Systeme  von  Gleichungen  W_^y  =.  0 für  a — 1, 
2,  3,  ...  genugzuthun  , in  welchem  j kleiner  ist  als  i, 
OL 
woraus  wieder  wie  vorhin  folgt , dass  alle  wn  für  ver- 
schiedene n rücklaufende  Beihen  bilden  , nämlich  eine 
für  jedes  a,  und  dass  alle  diese  Beihen  dieselbe  Scala 
von  höchstens  i Gliedern  haben. 
In  der  Anwendung  unterscheidet  man  leicht  die  Fel- 
der,  welchen  wegen  der  Symmetrie  ihrer  Lage  fortwäh- 
rend für  dieselben  n gleiche  w zukommen  , und  wenn 
man  diese  mit  einerlei  Zeiger  belegt,  so  vermeidet 'man 
die  unnötlnge  Häufung  der  unbekannten  Grössen  und 
die  daraus  entspringende  Nothwendigkeit  identische  Glei- 
chungen auszuscheiden.  Wenn  aber  durch  Auslassung 
einiger  Felder  die  Symmetrie  gestört  wird , so  hören 
auch  diese  Vereinfachungen  auf,  von  welchen  ich  hier 
noch  ein  Beispiel  gebe. 
Auf  einem  Quadrate  von  25  Feldern  gehe  der  Sprin- 
ger vom  Mittelfelde  aus , ohne  dieses  wieder  betreten 
zu  dürfen  5 auf  wie  viele  Arten  kann  er  in  n Sprüngen 
auf  jedes  der  übrigen  Felder  gelangen  , deren  wieder- 
holte Besetzung  unbeschränkt  frei  steht? 
Nach  Ausschluss  des  Mittelfel- 
des (0)  zerfallen  die  übrigen  24 
Felder  in  4 durch  die  eingeschrie- 
benen Ziffern  1 2 3 4 unterschie- 
dene Gruppen.  Den  Feldern,  die 
derselben  Gruppe  angehören,  kom- 
men für  alle  n gleiche  w zu,  und 
es  ergeben  sich  also  4 Unbekannte  , nämlich  wn , wn 
3 4 
wn  Die  Betrachtung  der  Figur  liefert  sofort  die 
Gleichungen  : 
1 
2 
4 
+ 2W„, 
2 
1 
3 
w , , = 2w„ 
n- r-l  v rc 
+ 2w,t , 
3 
2 
W»-M  = 
4 
1 
wn- f-1  = ~Wn 
4 
3 
2 
3 
4 
3 
2 
1 
2 
3 
2 
1 
0 
1 
2 
3 
0 
1 
2 
3 
4 
3 
2 
3 
4 
