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Bulletin  physic o mathématique 
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rer  n’ait  pas  été  convenablement  traitée;  car  les  solu- 
tions que  nous  en  avons  sont  peu  exactes  et  peu  con- 
formes aux  principes  de  l’analyse  des  hasards. 
2.  Nous  entrons  en  matière,  et  pour  nous  mettre  à 
la  portée  de  la  majorité  des  lecteurs,  nous  ne  nous  ser- 
virons dans  cet  extrait,  que  de  l’analyse  la  plus  élé- 
mentaire. Nous  commencerons  par  une  question  diffé- 
rente de  celle  que  nous  nous  sommes  proposée  et  in- 
comparablement plus  simple. 
On  est  certain  qu’un  vase  renferme  un  nombre  don- 
né de  billes  blanches  et  noires  sans  mélange  d’aucune 
autre  couleur.  On  ignore  absolument  la  proportion  des 
deux  couleurs.  Le  vase  peut  ne  contenir  que  des  billes 
blanches,  ou  seulement  des  billes  noires , ou  l’une  et 
l’autre  couleur  et  dans  un  rapport  que  nous  ne  con- 
naissons en  rien.  Mais  le  total  est  connu.  On  est  égale- 
ment certain  qu’on  retirera  du  vase,  ou  qu’on  en  ait 
déjà  retiré,  un  nombre  donné  de  billes  que  nous  désig- 
nerons par  l.  On  demande  la  probabilité  que  dans  ce 
nombre  / il  y aura  n billes  blanches  et  m noires. 
Cette  question  se  résout  par  ce  principe,  le  plus  sim- 
ple, qui  revient  à la  définition  même  de  la  probabilité 
ou  de  sa  mesure.  En  effet  parmi  / billes  retirées,  ou  à 
retirer,  il  peut  y avoir 
0,  1,  2,  3,...n.../-l,  / 
billes  blanches,  donc  respectivement 
/,  / — 1,  l — 2,  l — 3..m....l,  0 
billes  noires. 
Toutes  ces  différentes  hypothèses,  au  nombre  de/-{-l, 
étant  également  possibles , la  probabilité  de  chacune 
d’elles,  et  parlant  de  celle  que  nous  avons  en  vue,  sera 
1 
T+V 
3.  Résolvons  la  même  question  par  un  autre  procédé. 
La  comparaison  des  deux  résultats  nous  sera  utile. 
Désignons  par  s le  total  de  billes  dans  le  vase.  Sur 
ce  nombre  il  peut  y avoir 
0,  1,  2,  3, ...s 
billes  blanches,  donc  respectivement 
5,  s—  1,  5 — 2,  s— 3...0 
billes  noires.  Toutes  les  s-f-1  hypothèses  étant  égale- 
ment possibles,  chacune  aura 
1 
S 4-  1 
pour  mesure  de  sa  probabilité.  A in  si,  en  admettant  qu’il 
y a dans  le  vase  x billes  blanches  et  y billes  noires, 
ce  qui  exige  que  l’on  ait 
x+jr=s. 
la  probabilité  de  cette  hypothèse,  comme  celle  de  toute 
autre,  sera 
1 
5+r 
Supposons  maintenant  que  l’hypothèse  dont  il  s’agit 
soit  certaine , c’est-à-dire  que  dans  le  vase  il  se  trouve 
effectivement  x billes  blanches  et  y billes  noires;  et 
voyons  la  probabilité  que  sur  l billes  on  en  retirera  n 
blanches  et  m noires. 
Partageons,  par  la  pensée,  les  s billes  du  vase  en 
groupes,  chacune  de  l billes;  il  y aura,  comme  on  le 
sait,  par  la  théorie  des  combinaisons, 
s(s — 1)(5— 2). . .(s — /-4-1) 
— 1 .*1.0. ..I 
différents  groupes,  donc  autant  de  cas  possibles ; et  comme 
nous  n’avons  pas  lieu  de  croire  qu’on  retirera  un  de 
ces  groupes  plutôt  qu’un  autre,  tous  ces  cas  seront  éga- 
lement possibles. 
Maintenant  pour  avoir  les  cas  favorables , remarquez 
que  vous  avez  x billes  blanches  et  y noires,  et  qu’en 
partageant  les  premières  en  groupes  par  «,  les  dernières 
en  groupes  par  m billes,  vous  aurez  respectivement 
x(x — l)(.r — 2). . . (.r— «-}-l) 
1.2.3. . .n 
et 
y(.r— P(.r— 2)-  • -(.r— ”»+*) 
1.2.3. .  .m 
groupes.  En  les  combinant  entre  elles , il  vous  viendra 
x(x—  l)(x— 2). . .(x— n+1)  j{j—  l)(j~ 2).  • •(?— 
1.2.3. ..n  " 1.2.3 ...m 
groupes  de  n billes  blanches  et  de  m billes  noires.  Ce 
nombre  est  aussi  celui  des  cas  favorables.  Vous  aurez 
donc 
4 . 2 . 3...L  x[x — 1 )(.r — 2) ...  (x — «-f- 1 )y  (y — 1 ) (y — 2) . .. (y — m-\- 1 ) 
1.2.5...«.  1.2.3..  .m.  s(s—  t)(s— 2). . .(.s-Z-fl) 
pour  la  probabilité  cherchée. 
Pour  abréger,  nous  ferons  usage  d’une  notation  connue 
qui  sert  à représenter  ce  qu’on  appelle  les  factorielles 
ou  puissances  du  second  ordre.  Par  cette  notation  un 
produit  tel  que 
z(z — 1)0—2)  . .0-—Ä+1) 
est  représenté  par  ^ 
La  lettre  z peut  être  un  nombre  quelconque,  mais  k 
est  nécessairement  un  entier.  Cela  posé,  au  lieu  de 
1.2.3.. ./ 
on  écrira 
H'. 
M" 
de  même 
