325 
Bulletin  physico- mathématique 
326 
sera  la  même  chose  que 
x{x — 1)(jc—  2). . .(x — n-\- 1)  etc. 
Par  suite,  la  probabilité'  de  l’extraction  de  n billes 
blanches  et  de  m noires , dans  l’hypothèse  admise  et 
suppose'e  certaine,  deviendra 
U\l  M”  Lrr 
[n]n  M"1 
Mais  l’hypothèse  n’e'tant  que  probable,  il  faut  multi- 
plier la  probabilité  précédente  par  celle  de  l’hypothèse, 
c’est  à dire  par 
1 
5+l‘ 
Pour  lors , le  produit 
in1  Mn  h-r 
sera  la  probabilité  composée,  que  le  vase  renferme  x 
billes  blanches  et  y billes  noires  et  que,  sur  l billes 
qu’on  en  retirera,  n seront  de  la  première  couleur,  et  m 
de  la  seconde. 
Si , maintenant , nous  substituons  à x et  y tous  les 
nombres  entiers  positifs  et  zéro,  qui  satisfassent  à l’é- 
quation 
x+jr=s, 
nous  aurons  les  probabilités  semblables,  relatives  à tou- 
tes les  hypothèses  qu’on  puisse  faire  sur  la  proportion 
des  billes  blanches  et  noires  dans  le  vase.  La  somme  de 
ces  probabilités  est  évidemment  le  résultat  que  nous  cher- 
chons, savoir  la  probabilité,  qu’un  vase  l'enfermant  s bil- 
les, tant  blanches  que  noires,  et  dans  un  rapport  tout  à 
fait  inconnu,  sur  l billes  qu’on  en  retirera,  n seront 
blanches  et  m noires.  D’un  autre  côté,  la  même  proba- 
bilité étant  la  fraction 
1 
î+l9 
la  somme  dont  il  vient  d’être  question,  sera  égale  à cette 
fraction.  Donc,  si  nous  désignons  par  Sp,  placé  devant 
une  fonction  de  x et  y,  une  somme  des  valeurs  de  cette 
fonction,  relatives  à tous  les  x et  y qui,  satisfaisant  à 
l’équation 
sont  entiers  positifs  ou  zéro,  nous  aurons 
_ i 
s [«]"  [m]rn  [p  fTpM  — l 1* 
Mais  comme  sous  la  somme  que  Ss  indique,  il  n’y  a 
de  variables  que  x et  y,  nous  pouvons  écrire  l’équation 
précédente  sous  cette  autre  forme 
[«]" M"*b> , i]'-*-1  SsW‘  Wn  — T+ï 
et  nous  en  tirerons 
(I) 
Ss[x]'‘[yr- 
[«]"  [m]m  [s+l]*-M 
On  peut  regarder  cette  équation  comme  un  tout  pe- 
tit théorème  du  calcul  aux  différences  finies.  Il  eût  été 
très  facile  de  le  démontrer  par  le  principe  de  ce  calcul, 
mais  alors  on  aurait  pu  croire  que  nous  nous  sommes 
écarté  de  l’analyse  élémentaire. 
Nous  remarquerons  en  passant  que,  pour  avoir  fait 
usage  de  la  notation  des  factorielles,  et  malgré  que  nous 
nous  servirons  dans  la  suite  de  quelques  considérations 
relatives  aux  différences  finies,  nous  ne  croyons  pas  dé- 
passer les  principes  de  l'algèbre  les  plus  simples.  Car 
les  premières  notions  des  factorielles,  ainsi  que  les  élé- 
ments du  calcul  aux  différences  finies,  surtout  cjuand  il 
ne  s’agira  que  de  fonctions  rationnelles,  peuvent  être 
rapportées  à ces  principes. 
Dans  la  somme 
S,M"  IrV 
il  y a des  éléments  qui  sont  zéro  et  qu’on  peut  ne 
pas  compter.  Les  éléments  dont  il  s’agit  sont  d’abord 
ceux  qui  répondent  aux  valeurs  de  x , plus  petites  que  n ; 
puis,  ceux  où  j est  plus  petit  que  m.  Ainsi,  sans  en 
changer  la  valeur,  on  peut  n’étendre  la  somme 
s,  M"  Lrlm 
qu’aux  valeurs  de  x et  y qui,  satisfaisant  à l’équation 
x-\-y=s, 
sont  respectivement  plus  grandes  que  n — 1 et  m — 1. 
Pour  que  nous  puissions  nous  servir  de  la  notation  ad- 
mise Nj,  remplaçons  x et  y par  n- \-x  et  m -\-y  : les  nou- 
velles quantités  x et  y seront  toutes  celles  qui,  satisfai- 
sant à l’équation 
x -j-y — s — /, 
demeurent  entières  et  positives  sans  excepter  zéro.  Ainsi 
nous  aurons 
(I) 
Ss[xY[yr=Ss-i{n+xn'n+y]m 
~ PW-*-1 
4.  Supposons  maintenant  qu’on  ait  retiré  du  vase  l 
billes,  qu’on  ait  trouvé,  dans  ce  nombre,  n blanches  et  m 
noires,  et  qu’on  demande  la  probabilité  que,  dans  s — l 
billes  non  sorties,  il  se  trouve  x blanches  et  y noires. 
C’est  la  question  que  nous  nous  sommes  proposée. 
Nous  l’avons  énoncée,  dans  le  préambule,  un  peu  dif- 
féremment, et  d’une  manière  plus  conforme  à l’esprit 
de  l’analyse  des  hasards.  Car , rigoureusement  parlant, 
l’énoncé  des  questions  de  cette  espèce  ne  doit  ex- 
clure aucune  hypothèse  possible  à priori  ; c’est-à-dire 
avant  que  le  fait  fut  observé.  Mais,  en  demandant  ce  qui 
reste  dans  le  vase,  apx’ès  l’extraction  des  n billes  blan- 
