327 
Bulletin  physico  - mathématique 
328 
ches  et  des  m noires,  nous  faisons  intervenir  le  fait  dont 
il  s’agit,  en  excluant  les  hypothèses  relatives  aux  nom- 
bres plus  petits  que  n , pour  la  première  couleur,  et  plus 
petits  que  m,  pour  la  seconde.  Or,  cette  diminution  des 
hypothèses  possibles  en  altère  la  probabilité  à priori,  ce 
qui  pourrait  conduire  quelques  fois,  dans  des  cas  diffé- 
rents de  celui  que  nous  traitons,  à des  résultats  inexacts. 
Dans  le  cas  actuel  il  n’y  a pas  d’erreur  à craindre;  on 
pourrait  même  redresser  l’inexactitude  sur  les  probabili- 
tés des  hypothèses  à priori,  en  admettant  que  les  nom- 
bres des  billes  blanches  et  noires,  restées  dans  le  vase, 
puissent  être  négatifs;  mais  de  semblables  hypothèses 
paraissent  très  peu  naturelles.  Ainsi,  chercherons -nous 
la  probabilité  que  le  total  des  billes  blanches  est  x,  et 
y celui  des  billes  noires.*) 
Notre  problème  dépend  d’un  principe  connu,  par  le- 
quel des  faits  supposés  certains,  ou  même  déjà  observés 
on  remonte  à la  probabilité  des  hypothèses  qu’on  aura 
faites  pour  les  expliquer.  Le  principe  dont  il  s’agit,  dans 
le  cas  particulier  où  à priori  toutes  les  hypothèses  sont 
également  admissibles,  revient  à ce  qu’il  suit. 
« La  probabilité  d’une  hypothèse  est  égale  à la  proba- 
bilité du  fait,  tirée  de  cette  hypothèse  supposée  cer- 
taine, divisée  par  la  somme  des  probabilités  semblables 
relatives  à toutes  les  hypothèses.  » 
Nous  avons,  pour  le  fait  observé,  l’extraction  de  n bil- 
les blanches  et  de  m noires.  Avant  qu’elle  eut  lieu,  tou- 
tes les  hypothèses  qu’on  aurait  pu  admettre  sur  la  pro- 
portion des  billes  blanches  et  noires,  avaient  une  même 
probabilité  (Nr.  3) 
t 
5 — j—  1 
Ainsi  nous  pouvons  nous  servir  du  principe  qu’on  vient 
d’énoncer.  Or  nous  avons  vu  (Nr.  2 ) que  la  probabilité 
du  fait  observé  dans  l’hypothèse  admise , c’est-à-dire 
celle  de  l’extraction  de  n billes  blanches  et  de  m noi- 
res , en  admettant  que  le  vase  en  contient  x de  la  pre- 
mière couleur  et  y de  la  seconde,  est 
M'M"  \jT 
Divisons  cette  probabilité  par  la  somme 
[// 
* [/,]"i)«r  m'' 
SslxTlrY 
[»]b  or  m' 
des  probabilités  semblables,  relatives  à toutes  les  hypo- 
thèses qui  puissent  expliquer  le  fait  observé,  nous  aurons 
la  chance  de  l’hypothèse  admise,  cette  chance  sera 
*)  11  eût  été  plus  simple  de  ne  point  changer  l’énoncé  du 
préambule.  Nous  en  avons  agi  autrement  dans  un  but  particulier 
qu’il  est  superflu  de  dire. 
mais 
5,  M"  [r] 
[r FM"* 
Ssixriyr 
,„=[»v\>»r 
donc  la  probabilité  de  notre  hypothèse  deviendra 
[/+i]/+1  pr  irr 
[n]n[m]m[s- f-l/H-1* 
Si  nous  attribuons  aux  quantités  x et  y des  valeurs 
numériques,  la  formule  précédente  donnera  la  probabi- 
lité de  ces  valeurs.  Le  calcul  en  sera  très  facile  à l’aide 
des  logarithmes.  Cependant  quand  les  nombres  n et  m se- 
ront très  grands,  le  calcul  sans  être  embarrassant,  de- 
viendrait fatiguant  par  sa  longueur.  On  le  raccourcira  en 
se  servant  de  la  formule  suivante  que  nous  donnons 
sans  démonstration, 
, (26+l)log(26+1)  — (2a+1)log(2a+l) 
2 
— 0,73532  4-4-775  67233  02286 (b— a) 
12  |_2a+i  26+J 
7 n r \ l 
log  [b\l 
5G0  l(2a-H)3 
31  fi  r 1 
.] 
1260  L(2a~M)5 
127^  r 1 
1660  [_(2‘i-H)7 
(26  pi)3 
_ (26+ 1)5] 
1 
(26+1) 
0 
+ 
_i 
~ ' (2/— 1)2/  L(2a+1)2'1-1 
+ (_iy+2_ 
(22M-1  — 1 jç._I  p 
L_1 
(26+l)2‘-1J 
(b— a). 
0+l)(2a+!,26pi)2H~2 
et  pour  l’usage  qu’on  en  fera  il  n’est  pas  nécessaire  d’en 
posséder  la  démonstration.  On  y a désigné:  par  /u,  le  mo- 
dule des  logarithmes  ordinaires,  en  sorte  que 
log n = 9,63778  43113  00536  78913, 
par  (2a  + l,  2Z>+1),  un  nombre  compris  entre  2a+l  et 
2Z»+1  , et  par  /?/,  le  nombre  de  Bernoulli  du  n°  i. 
Voici,  d’après  Euler,  les  quinze  premiers  de  ces  nom- 
bres 
1 
1 
1 
1 
3 
6 ’ 
3Ô’ 
425 
30’ 
ëë’ 
691 
7 
5617 
43867 
174611 
273ü’ 
6 5 
310  ’ 
~79{T’ 
33Ö”’ 
834613 
236364091 
8333103 
23749461029 
8613841276003 
138  ’ 
2750  * 
6 5 
870  * 
14322 
5.  Examinons  le  changement  qu’éprouve  la  probabilité 
V ! ']/+1MnW"’ 
[n]"  [m]m  [4+  Ij'-M 
