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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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quand  on  attribuera  à x successivement  les  valeurs 
n,  n- f- 1 , n- s — m 
et  à y les  valeurs  correspondantes 
5 — n , s — n — 1,  5 — n — 2...  m. 
Il  est  clair  qu’il  nous  suffira  d’examiner  la  marche  du 
facteur 
m yr 
qui  seul  varie  avec  x et  y. 
La  difference  entre  deux  valeurs  consécutives  de  ce 
facteur  est 
M-*]"  [r-ir  — Wlr\m 
ou  bien 
[xj"  1 [y — 1]"'  1 (ny — mx  — m). 
Tant  quelle  sera  positive,  le  produit 
M'bT 
et  par  suite  la  probabilité' 
[/+1J/+1  [r]»  [ ryn 
augmenteront  avec  x.  Mais,  au  contraire,  ils  diminueront 
quand  x augmentera,  toutes  les  fois  que  cette  difference 
sera  ne'gative.  Il  s’en  suit  que  les  probabilite's  les  plus  gran- 
des , c’est-à-dire  les  hypothèses  les  plus  probables , ré- 
pondront aux  valeurs  de  x pour  lesquelles  la  difference 
dont  il  s’agit  passera  du  positif  au  ne'gatif.  Or,  comme 
le  facteur 
M"-1  Lr-ir-1 
est  toujours  positif,  le  signe  de  la  difference  sera  celui 
de  son  autre  facteur 
ny — mx — m 
celui-ci  a sa  plus  grande  valeur 
72  (s  — /)  — m 
quand  x=n,  y=s — 72;  puis,  il  diminue  sans  cesse  à me- 
sure que  x augmente , et  il  diminue  de  l pour  chaque 
augmentation  l’unité  de  x,  sa  plus  petite  valeur 
les  autres.  Savoir  qu’il  y aurait  deux  hypothèses  égale- 
ment probables  et  plus  probables  que  les  autres. 
Pour  déterminer  x auquel  répond  le  changement  du 
signe  du  facteur 
ny — mx  — m 
remplaçons  y la  quantité  y par  sa  valeur  s — x , il  viendra 
ns—lx 772 
ou  bien 
72(5-}- 1)— /(x-j- 1 ). 
Il  est  clair  qu’en  prenant  pour  x-j-1  le  plus  grand 
entier  e renfermé  dans 
22(5-1-1) 
l 
on  aura  un  résultat  positif;  mais  on  en  obtiendra  un 
négatif,  en  faisant  x lui  même  égal  à l’entier  dont  il 
s’agit.  Ainsi  le  changement  de  signe  de  la  différence  a 
lieu  pour 
x=e 
et  n’a  lieu  que  pour  cette  valeur.  Il  s’en  suit  que  la 
plus  grande  probabilité  répond  à x=e,  c’est-à-dire  l’hy- 
pothèse la  plus  probable,  sur  le  nombre  x des  billes 
blanches  et  celui  y des  billes  noires,  est  celle-ci 
x = e,  y = s — e. 
Ou  bien,  pour  ne  point  introduire  une  nouvelle  let- 
tre e,  l’hypothèse  la  plus  probable  répond  aux  valeurs 
x et  y,  respectivement  égales  aux  plus  grands  entiers  ren- 
fermés dans 
72(5+1)  272(5— |—  1) 
i et  y 
La  probabilité  des  autres  hypothèses  diminue  à me- 
sure qu’elles  s’éloignent  de  celle-ci,  en  sorte  que  les 
hypothèses  les  plus  probables  se  groupent  autour  de  la 
plus  probable  de  toutes. 
Remarquez  cependant  que  si  les  quotiens 
72(5+1)  772(5-1-1) 
l ’ l 
— n(s — 1-\- 1) 
répond  à x=s — m , y=m,  elle  est  évidemment  négative. 
Ainsi  le  facteur  dont  il  s’agit  change  nécessairement  de 
signe  en  passant  du  positif  au  négatif,  et  n’en  change 
qu’une  seule  fois.  Il  en  sera  de  même  pour  la  différence 
entière 
[x+lf  [r— 1]'"  — [x]"  [y]m. 
Donc,  à moins  que  celle-ci,  en  passant  du  positif  au  né- 
gatif, ne  devienne  zéro,  la  probabilité  n’aura  qu’un  ma- 
ximum, c’est-à-dire  qu’il  n’y  aura  qu’une  hypothèse  plus 
probable  que  toutes  les  autres.  Mais  si  la  différence 
dont  il  s’agit  pouvait  devenir  zéro,  alors  il  y aurait  deux 
probabilités  égales  entre  elles  et  supérieures  à toutes 
étaient  des  entiers,  et  ils  le  seraient  évidemment  en 
même  temps,  alors  l’expression 
72  0-fl) /(x-f-1), 
et,  par  suite,  la  différence  entre  deux  probabilités  con- 
sécutives, disparaîtrait  pour 
*=2£+!>_i 
il  y aurait  donc  deux  hypothèses  également  probables, 
et  dont  la  probabilité  surpasserait  celle  de  toutes  les 
autres  hypothèses. 
Les  deux  hypothèses  les  plus  probables  répondraient 
l’une  à 
72(5+1)  . 772(5+1) 
*=— 1.  /=— — 
