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Bulletin  ph  y sic  o -ma  thématique 
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la  seconde  à 
*=— - ->  y=—i — 1 
Les  autres  hypothèses  seraient  d’autant  plus  probables 
quelles  s’approcheraient  davantage  de  ces  deux-ci,  et  à 
mesure  qu’elles  s’en  éloigneraient , leurs  probabilités 
iraient  en  diminuant. 
Si  l’on  voulait  considérer  les  s — l billes  restées  dans 
le  vase,  au  lieu  du  total  s,  il  n’y  aurait  qu’à  mettre  x — n 
et  y — m à la  place  de  x et  y.  Ainsi,  on  aura  l’hypothèse 
la  plus  probable,  sur  le  nombre  des  billes  blanches  restées 
dans  le  vase,  en  faisant  ce  nombre  égal  au  plus  grand 
entier  renfermé  dans 
n(M-l) 
—l " 
ou  dans 
n(s  — /-fl) 
/ 
ce  qui  donne,  pour  le  nombre  des  billes  noires,  le  plus 
grand  entier  renfermé  dans 
m(s— /-j-1) 
7 
Les  deux  hypothèses  également  probables  et  surpassant 
toutes  les  autres  en  probabilité , quand  elles  auraient 
lieu,  répondraient  l’une  à 
«(5  — /-fl)  . 
i Z 1 
billes  blanches  et 
m(s— /-f  I) 
7 
billes  noires 5 l’autre  à 
n(s— /-ft) 
l 
billes  blanches  et 
m{s-l+ 1) 
/ 
billes  noires. 
6-  La  probabilité  qu’une  quelconque  de  plusieurs 
hypothèses  aura  lieu,  est  la  somme  des  probabilités  de 
ces  hypothèses.  Ainsi,  la  probabilité  que  le  total  des 
billes  blanches  est  un  des  nombres 
ci-,  ci  -f  1 , a -f  2 , ci  -f  3.  . . c 
s’obtiendra  en  faisant  la  somme  des  expressions 
[M-i]/+1  M"  M'n 
[«]"  [/«]'"  LH-i]'“*"1 
relativement  à toutes  les  valeurs  de  x , depuis  a jusqu'à 
c inclusivement , et  aux  valeurs  correspondantes  de  y, 
c’est-à-dire  depuis  y=s — a jusqu’à  y=s — c inclusive- 
ment. Or,  en  faisant 
s — c—b 
il  est  facile  de  s’assurer  que  la  somme  dont  il  s’agit 
revient  à celle  des  expressions 
[Z4-1]/-*-1  [a+.r.]«[/,-fr]'* 
[«]"  [m],n  [s-f 
relativement  à toutes  les  valeurs  de  x et  y qui,  étant 
enlièi’es  positives,  ou  zéro,  satisfont  à l’équation 
x -f  y— s — n — b=c—a , 
ou,  en  désignant  pour  abréger  s — a— b ou  c — a par  q, 
à celle-ci 
x-f  y=<7 
donc  la  probabilité  en  question  s’exprimera  par 
(As  [/-H]/+1 
' J [«]"  [m]m  [.s-f  îy+i 
et  poirr  l’avoir  il  ne  s’agira  que  de  trouver  la  somme 
s9[*+*r  [t>+r)m 
ce  qui  se  ferait  dans  l’instant,  si  les  quantités  a et  b ne 
surpassaient  pas  respectivement  les  exposants  n et  m des 
factorielles  5 car  on  aurait  alors 
«»[<■+*]"  P-hrr = s,  m»  1 >r. 
Mais  le  plus  souvent  a sera  plus  grand  que  m,  et  b plus 
grand  que  m , l’équation  qui  précède  ne  peut  donc  pas 
avoir  lieu 5 ce  qui  nous  oblige  à développer  les  binômes 
factoriels 
[a+x]"  \b+yy 
à l’aide  des  formules  connues,  pour  les  binômes  de 
celte  espèce , et  qui  se  démontrent  aussi  facilement  que 
le  binôme  de  Newton.  Ces  formules  sont 
[«+*]"  = [<+tB]lW^,MMwWMW,+rai’w"-,W,+.  • • +|p,['0"-‘W'+.  • • +W 
PF1 
[2? 
[3  y 
+^#r-W+---  +w 
Nous  aurions  pu  ne  faire  que  citer  ces  développements, 
mais  nous  allons  les  démontrer  en  faveur  des  lecteurs 
eu  géomètres  auxquels  cet  extrait  est  destiné. 
Il  est  d’abord  facile  de  s’assurer  que  non  seulement 
la  factorielle 
[a-f  x\n 
mais  une  fonction  rationnelle  et  entière  quelconque  de 
x peut  être  mise  sous  cette  forme 
-J+A  Ml-fAW2UW3+-  • -M/M'H-  • • 4n[x\n 
Ax  A y Ai-  . An  étant  des  coefficients  numériques  dé- 
pendant de  la  fonction.  Faisons  en  conséquence 
