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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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[a+æ]"=  sl+  ^ [x]  ^ +A,[xf+J%[xfJr . . . -MiW+ . .+Jn[x]n 
et  supposons  que  x varie  de  l’unité';  prenons  i fois  de 
suite  les  differences  finies  de  cette  e'quation.  Pour  y par- 
venir, le  lecteur  remarquera  que  la  différence  finie 
d’une  factorielle  comme 
[«+*r 
dans  l’hypothèse  admise,  c’est-à-dire  quand  x varie  de 
l’unité,  est 
[<x-{-x-\-\ — [a-f-orjy  ==  <7[a-j -a?]<7 — *. 
Eu  égard  à cette  remarque,  on  trouvera  successivement 
n[rz+xr-1=^1+2^2[x]1+3^îM2+. . .+Ui[xy  + ' + .. . -\-nyJ n[x\"  1 
MV+*y— ’ '=[2]»^+[4]^,w+[4]XM!+---+[0,^W'-,+---+M!^,M'’-! 
[,i]![a+x]"-s=[3)>^3+[l]«.Z,(.r]'  + +[,J»^,[x]I-â+ . . .+[n]V/„[*r-> 
[Hr]" 
le 
signe 
= MH+[<+  I]H+,  MH 
Faisons  o?=0  dans  la  dernière  de  ces  équations,  il 
viendra 
[fW  -'  = WH 
d’où 
W*' 
En  mettant,  dans  cette  expression,  pour  i successivement 
0,  1,  2,  3...  n 
on  trouvera  les  quantités 
d-Q  , si  y 1 sl<l  , . . . sljl 
et  on  reconnaîtra  l’exactitude  du  binôme  factoriel  ci-des- 
sus cité.  Et  il  est  clair  que  l’autre  factorielle 
[H/]"“ 
est  susceptible  d’être  traitée  de  la  même  manière  et  four- 
nira des  résultats  semblables. 
Supposant  que  le  lecteur  s’est  formé  une  idée  claire 
des  binômes  factoriels,  nons  les  écrirons,  pour  abréger, 
à l’aide  du  signe  sommatoire  ainsi  qu’il  suit 
k=m  i= 
i=n\ii\‘Ui'\n — ‘ 
[«+*]»=  £U  J.  ■[*]« 
t=o  b J 
: À=0  W* 
i=n 
E 
t=0 
or 
indique  qu’il  faut  mettre  successivement,  dans  ce  qui 
le  suit, 
0,  1 , 2,  3 . . . n 
à la  place  de  i,  et  faire  la  somme  du  résultat.  De  même 
k=m 
E 
k= 0 
exige  que,  dans  ce  qui  suit,  k soit  remplacé  successi- 
vement par 
0,  1,  2,  3. . . m 
et  que  la  somme  des  résultats  soit  faite. 
En  multipliant  les  dernières  formules  l’une  par  l’autre, 
il  viendra 
K=m  i=n  r m-\k\n-]i  . , 7 
[«+^"[J+rr=  £„Vïw[0t’~W"-i M'Irl* 
k= 0 i=0 
d’où 
WM*, 
S<,[a+xT[b+jr=  E E 
k=0 1=0  P J 
Or,  en  vertu  de  la  formule  (I), 
donc 
c r il  r i*  MW  b/-ffl'-+^+1 
tri  = 1 ■ 
S^c+xTib+yY 
k=m  i=n  [Æ]«— «'[i]™— * [<7+1]''+*+* 
2a  2d  
k=Q  1=0 
[i_|_*_|_l]i+£Fï 
En  substituant  cette  expression  dans  la  formule  (A),  la  probabilité  que  cette  formule  représente  deviendra 
[U ]m— * [9-fiÉ+^+i 
k=m  i=n 
H -j-il**1  L L 
k=0  i=0 
WAW  w 
[i-fA+4]‘'+A+* 
[rt]"  (mf  [s+l]'+l 
