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Bulletin  physico  - mathématique 
7.  La  formule  qu’on  vient  de  trouver  peut  être  consi- 
dérablement simplifie'e,  soit  en  effectuant  la  sommation 
relativement  à un  des  deux  indices,  i ou  k,  soit  par  les 
considérations  que  nous  allons  exposer. 
Il  convient  d’abord  de  distinguer  des  deux  nombres  m 
et  n le  plus  petit.  Supposons  que  le  premier  le  soit. 
Remarquez  ensuite  que  la  formule  à simplifier  repré- 
sente la  probabilité  que  le  total  des  billes  blanches  est 
un  des  nombres 
Æ,  ci— |-1 , ci  -\-Q . • • C]  -| -Cl- 
Faisons  a— 0,  nous  aurons  la  probabilité  que  le  total 
dont  il  s’agit  ne  dépasse  pas  q,  et  cette  probabilité  sera 
incomparablement  plus  simple  que  la  précédente.  En 
effet,  pour  a=0  la  quantité 
[a]"-', 
ou  plutôt  celle-ci 
[O]"-'-, 
est  zéro,  toutes  les  fois  que  i diffère  de  n,  et  elle  de- 
vient l’unité,  quand  i=n 5 il  s’en  suit  que  la  somme  re- 
lative à i se  réduit  à son  dernier  terme  , c’est-à-dire  à 
celui  qui  répond  à i=n , et  partant  la  probabilité  de- 
viendra 
[7q_l]/-t-i  kz=m  1]«-*-* — 1 1 
wm&+i/+1  0 [«+*+1  r+^1 
C’est  la  probabilité,  que  le  total  des  billes  blanches 
ne  dépasse  pas  <7,  ou  que  le  total  des  billes  noires  n’est 
pas  plus  petit  que  b=s — q.  Si  nous  changeons  q en  p 
et  b en  a,  cette  dernière  lettre  ayant  une  signification 
toute  différente  de  celle  de  tout-à-l’heure,  nous  aurons 
]/-+-!  A =w  \_,n~\^{a]n> — 
[m]"'[P  -j- 1]'-*- 1 A.fl0  0+ 
pour  la  probabilité,  que  le  total  des  billes  blanches  soit 
au  plus  p,  ou  que  celui  des  billes  noires  soit  au  moins 
a=s — p. 
Donc,  en  supposant  q^>p,  la  différence 
k—m 
OT 
représentera  la  probabilité,  que  le  total  des  billes  blan- 
ches est  plus  grand  que  p,  mais  ne  dépasse  pas  q , c’est- 
à-dire  qu’il  sera  un  des  nombres 
p + 1,  p+2,  p+3,...q. 
Or 
[/  -f 1 ]l+ 1 = [/+ 1 ]'"  [n  + 1 ]"+‘ 
[« + k + 1 ]"+A+1 i = [„. q-A  -f- 1 ]"  [„  4- 1 ]"+l 
,_*=  wm 
la-m+k]k 
u>r 
M 
[by 
[p+i]n+t+'=[p+iy‘+'[p—nÿ 
[q+iY‘+*+l=[q-\-i]"-+-'  [q-n]* 
donc  la  probabilité  précédente  deviendra 
[l+iT[hr[q[lT+xk=ni  [m]k  [q_n] 
MnLf  t']/+I  jZ 0 [«+*+1]*  [b-rn+k] 
[/-|-13»'[rt3"'[/>+1]»-t-1  b=m  [p-nf 
k 
[W]"'LP+1J/+1  x=0  t'H-A4-,]/£  [_a—m-\-k\k 
— M 
p,  — p/  m~k  y-n-b  A 
1 k 'V.-f  A-+2  b-m-A-k—  1 J 
Il  convient  d’examiner  la  succession  des  termes  des 
séries  finies 
k=m 
xfo  M^+ï?  [b-rn^ky 
[mY 
[q-nf 
et 
k=m  M*  [p-nf 
X=0  [»+*+*]*  [ a-m+k]* 
Il  est  clair  qu’il  suffit  d’en  considérer  une  seule,  par 
exemple  la  première,  car  les  deux  séries  sont  de  même 
nature. 
F aisons 
nous  aurons 
[<y— «3^-t-1 
p \mŸ  [?-«]* 
h [«+A-+13*  [6 — m-t-k]^ 
y-y 
[q-ny 
p p, J L J ■ L7  J 
A-H  * h — (■„_!_* t23*4-i  [6_/«-hA-H]A-t-1  [„-pxq-ljA  [b-m-^kf 
si  les  termes  de  la  série  que  nous  considérons  vont 
savoir 
■^A-H 
ou  bien 
P _p  — Pl  (Ufg)(7-f2)-(H-3)(*-l-”-fg) 
À+1  h ■k  k f2)(6— m-FA-l-1) 
On  jugera , dans  chaque  cas  particulier,  par  le  signe 
de  la  quantité 
(H"2)0/+2) — (s-|-3)(/c-{-«-f-2), 
augmentant  et  jusqu’à  quelle  valeur  de  k ils  augmen- 
teront. Car  ils  finiront  nécessairement  par  diminuer, 
puisque  k devenant  m,  la  quantité 
(y+2)  (<y-}-2) — (s-t- 3)  (A 2) 
obtient  une  valeur  négative 
_(/+2)  (5^7+1). 
"ÇsfV" 
I 
