343 
Bulletin  physico-mathématique 
344 
Ainsi  nous  nous  en  tiendrons  à la  première  forme. 
Cependant  si  le  nombre  m était  très  conside'rable,  les 
sommes 
[wi]*[.r— h]* 
et 
imÿir-nŸ 
A = 1 [«+A-+1]7‘[?— 
qui  y sont  contenues  seraient  composées  d’un  grand 
nombre  de  termes,  et  le  calcul  en  deviendrait  pénible. 
Il  faudrait  alors  recourir  aux  procédés  que  nous  don- 
nons dans  le  mémoire,  mais  qui  exigent  l’emploi  des 
intégrales  définies,  et  appartiennent  à l’analyse  transcen- 
dente. 
10.  Appliquons  la  formule  du  n°  8 à un  exemple. 
Supposons  que  le  vase  contient  10000  billes,  et  qu’ayant 
retiré  100  de  ces  billes,  on  en  a trouvé  80  blanches  et 
20  noires. 
Les  plus  grands  entiers  renfermés  dans 
c’est-à-dire  dans 
«(*+•!)  et  »dH- U 
80.10001  , 20.10001 
et 
100  100 
sont  8000  et  2000  ; ainsi  l’hypothèse  la  plus  probable  ré- 
pond à 8000  billes  blanches  et  2000  billes  noires.  Dé- 
terminons la  probabilité  qu’une  des  200  hypothèses,  voi- 
sines de  la  plus  probable,  aura  lieu.  Si  l’on  voulait  que 
ces  hypothèses  fussent  les  plus  probables  de  toutes  les 
autres,  il  faudrait  prendre  à peu  près 
.r=8040  donc  jy=1960 
p =781-0  donc  <7=2160 
mais,  par  une  raison  qu’il  est  mutile  d’expliquer,  nous 
n’admettons  pas  cette  hypothèse.  Nous  ferons 
a-— 8100,  donc  y =1900 
7^=7900  donc  <7=2100- 
La  probabilité  cherchée  deviendra 
[101]20[1900]2°[8101] 
r- 
[101]2O[2100]"o[7901] 
81 
[20]2°[10001]101  [20]2°[10001]101 
pour  avoir  Y et  P,  nous  exécutons  le  calcul  qui  se 
trouve  dans  la  table  ci-jointe. 
[101]20[1900]2°[8101]81 
La  première  et  la  dernière  colonnes  de  ce  tableau 
fournissent 
k=m 
E Xk  = 5,551887 
A = 1 
k=m 
E Pk  = 3,6 16786 
k=l 
donc 
et 
J7  = 6, 551887 
Q=  3,616786. 
log  Y=  0,81 6 36640 
log  Q — 0,664  33964. 
De  plus,  par  les  colonnes  cinquième  et  sixième 
log  [20]2O=  18,386  12463 
log[101]2°=200— 160,788  88772=39,211  11228 
et  par  les  colonnes  huit  et  trois 
log[l900]2O=  200-1 34,468  50679  = 65,531  49321 
log[2100]20=  200—1 33,595  02961=66,404  97039 
reste  à trouver  les  trois  logarithmes 
log  [790 1]81,  log  [8101]81,  log  [1000 1]101. 
Or  la  formule  du  N°  4 donne 
log  [7201] 
81 
158031og  15803  — 156411ogl5641 
= 2 
—0,735  32447  76.81 
=315,531  54589, 
27  m 
2.15641.15803 
1 romnsi  16203  log  16203  - 1G041  log  16041 
iog[81Ul]  — 
— 0,735  32447  76.81  + 
3 m 
5347.10802 
= 316,417  35463, 
log[ioooi3101=200Q31%r20Q03~198011og19801 
—0,735  32447  76.101 
= 403,784  35109. 
101m 
6.19801.20003 
Il  était  inutile  de  prendre  plus  de  termes  de  cette  for- 
mule, car  ce  qui  a été  négligé  n’attaque  que  les  décima- 
les d’un  ordre  bien  plus  élevé  que  celui  où  nous  nous 
somme  arrêté. 
Log 
[20]2°[10001] 
101 
Cela  posé , nous  avons 
10+39,211  11228+65,531  49321+316,417  35463+0,816  36640—18,386  12463 
—403,784  35109  = 9,805  85080, 
Q = 1Q+39-211  11228+66,404  97039+315,531  54589+0,664  33964—18,386  12463 
• — 403,784  35100  = 9,641  49248- 
