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DE  L\A  CADÉMIE  DE  SAINT-PÉTERSBOURG. 
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la  somme 
par 
L ~ dxi  . 
dx; 
L x'i  8p;  — 8T. 
Or,  nous  aurions  pu  parvenir  à l’égalité 
i = u dT  i = n 
E ~d^-8xi==  L æ-ifyi-dT 
i=  \ax‘  i = I 
un  peu  plus  simplement  que  tout  à l'heure.  En  effet,  nous 
avons 
Z = 7T-»  2 — il  drT1  l ==H 
£ 4-  Sx  i = ST  - £ ~ - Sx  'i  = 8T-  £ Vi  Sx  ,•  == 
i=ldxi  i=idxi  i=  i 
Mais 
donc 
= ST  -+-  £ x'i  dpi  — d £ pix' i 
i=\  2 = 1 
i =n 
£ pi  x'i  — 2T 
t= I 
i—n  jrp  i=n 
£ — Sxi=  £ x'i  dpi  — ST 
i=0  C X‘  i=l 
Quoique  la  quantité  T sera  maintenant  considérée  comme 
fonction  de  xt , x2,  x3  . . . xn  et  de  pl , p2 , p3 . . . . pn,  cepen- 
dant nous  n’entourerons  plus  par  des  parenthèses  les  dérivées 
de  cette  quantité  relatives  aux  x;  car  nous  n’aurons  plus  à 
employer  les  dérivées  relatives  aux  mêmes  variables,  mais  se 
rapportant  à un  autre  mode  de  composition  de  T. 
Si  nous  ajoutons  au  moment  des  forces  d’inertie  celui  des 
forces  motrices,  nous  aurons  le  moment  des  forces  perdues. 
Ainsi  en  désignant  par  ôF  le  moment  des  forces  motrices, 
celui  des  forces  perdues  sera 
£ {x'  i dpi  — pi  dx-)  — ST  -t-  dV 
i=l 
Dans  l’expression  précédente,  dT  est  une  variation  exacte, 
mais  à F pourrait  ne  pas  l’être.  Par  la  nature  du  moment, 
à F doit  avoir  la  forme 
i=n 
£ Xi  dxi , 
i=  I 
c’est-à-dire,  doit  être  une  fonction  linéaire  des  variations  ar- 
bitraires dxl,  dx2,  dx3. . . . dxn , sans  contenir  aucune  de 
celles-ci  dp x , dp2 , dp3 . . . . dpn.  Pour  ce  qui  regarde  les  coef- 
ficients X , ils  peuvent  satisfaire  ou  ne  pas  satisfaire  aux  con- 
ditions d’intégrabilité.  Remarquons  cependant,  quoiqu’il  n’y 
ait  aucune  question  dynamique  qui  puisse  conduire  à cette 
hypothèse,  remarquons  que  rien  n’empêche  à supposer  que 
dV  soit  de  la  forme 
£ {X;  dx;  n-  Pl  dpt) 
i=  ! 
la  théorie  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  aura  lieu 
relativement  aux  équations  différentielles  qui  résulteront  de 
cette  hypothèse.  Mais  si  d’un  côté,  cette  théorie  est  plus  gé- 
nérale que  ne  l'exige  la  dynamique,  nous  verrons  plus  tard 
que  d’un  autre  côté,  elle  n’embrassera  pas  toutes  les  questions 
de  cette  science;  il  s’en  trouve  qui  lui  échappent. 
3)  Il  ne  reste  plus,  pour  avoir  les  équations  du  mouve- 
ment, qu’à  ajouter  à l’expression 
i=n 
£ [x  .dp  — p'idx .)  — ST -t-  dV 
i—  \ 
le  moment  des  forces  qui  tiennent  lieu  des  conditions  des  dé- 
placements possibles,  et  à égaler  à zéro  le  résultat.  Puis, 
comme  dans  ces  résultats,  les  variations  dx{ , dxv  dxy . . . dxn, 
8pt,  dp2 , dp3,  . . . dp n sont  entièrement  arbitraires,  on  éga- 
lera à zéro  leux’s  coefficients,  ce  qui  donnera  autant  d'équa- 
tions qu’il  en  faut  pour  qu’on  puisse,  en  les  combinant  avec 
les  équations  qui  résxiltent  des  conditions  des  déplacements 
possibles,  déterminer  toutes  les  inconnues  du  problème. 
Mais  la  théorie  que  nous  exposons  exige  que  l’on  suive 
une  autre  voie.  Nous  supposerons,  avec  Poisson,  qu’on  se 
serve  des -conditions  des  déplacements  possibles  pour  expri- 
mer les  variables  xx , a?2,  x3,.  . . . xn  en  fonctions  d’autres 
quantités  indépendantes  entre  elles,  et  qu’on  ait  substitué  les 
fonctions,  dans  le  moment  des  forces  perdues,  à la  place  de 
, æ2,  x3  . . . . xn.  La  substitution  dont  il  s’agit  se  fera  en 
introduisant  les  nouvelles  variables  dans  la  quantité  T.  Les 
•dérivées  partielles  de  cette  quantité,  relativement  aux  nou- 
velles variables,  tiendront  lieu  des  quantités  p.  On  introduira 
ensuite  les  mêmes  variables  dans  le  moment  dV  des  forces 
motrices.  Il  est  nécessaire  qu’après  cette  introduction,  dV  de- 
vienne une  variation  exacte,  ce  qui  peut  arriver  sans  qu’elle 
le  fût  d’abord,  c’est-à-dire  avant  l’introduction  dont  il  s’agit. 
Si  l’on  se  borne  aux  questions  dynamiques,  AF  ne  renfermera 
pas  les  variations  dp  ; donc,  il  faut  supposer  aussi  que  les 
quantités  p n’y  sont  pas  contenues  non  plus;  autrement  ôFne 
pourra  pas  devenir  une  variation  exacte  relative  aux  nou- 
velles variables,  quelles  que  soit  soient  ces  dernières. 
Le  moment  des  forces  perdues  s’exprimera  par  les  nou- 
velles variables  et  les  quantités  qui  tiendront  lieu  de  p,  tout- 
à fait  de  la  même  manière  qu’il  est  exprimé  en  les  x et  les  p, 
excepté  que  le  nombre  n aima  une  valeur  plus  petite  d’autant 
d’unités  qu’il  y avait  des  conditions  de  déplacements  possi- 
bles. Mais  nous  retiendrons  les  lettres  x,  p,  n,  pour  désigner 
les  nouvelles  variables  et  leur  nombre;  nous  supposerons  que 
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