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Bulletin  physico -mathématique 
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ces  lettres  ont  changé  leur  signification.  De  cette  manière, 
le  moment  des  forces  perdues  aura  toujours  pour  expression 
E (x'idp;  — p'  ; Sx;)  — ST  8 V 
i=  1 
ou  bien,  comme  par  hypothèse  <5 F est  une  variation  exacte, 
et  qu’on  peut  faire  T — V=U,  celle-ci 
£ (X';SP;  — V i8x;)  — 8U  ; 
mais  il  ne  sera  plus  moment  quelconque,  car, étant  actuelle- 
ment exprimé  par  des  variables  libres  de  toute  liaison  entre 
elles,  il  est  devenu  moment  virtuel  ou  possible,  et  partant 
sa  valeur  doit  être  zéro,  puisque  les  forces  perdues  sont  en 
équilibre. 
Nous  aurons  donc 
E {x  i8pi  — p^Sx-j  = SU 
i= O 
ou  bien,  puisque  les  différences  marquées  par  8 sont  tout-à- 
fait  arbitraires,  il  s'en  suivra,  quel  que  soit  i, 
cl  U 
dp-, 
X 
(2) 
/ du 
p‘  = -d7; 
Dans  les  questions  dynamiques  la  quantité  Z7est  une  fonction 
rationelle  et  entière  du  second  degré  par  rapport  aux  quantités 
p.  Mais  la  théorie  des  constantes  arbitraires  aura  lieu  relative- 
ment aux  équations  différentielles  précédentes,  quelle  que  soit 
la  composition  de  U en  xv  x2 , xv . . . . xn,  pv  p2,  p3, . . . . pn. 
De  ce  côté , la  théorie  dont  nous  parlons  fournit  plus  que  ne 
l’exige  la  dynamique,  mais  d’un  autre  côté,  en  demandant 
que  8U,  ou  plutôt  SV,  soit  une  variation  exacte  et  que  les  con- 
ditions de  déplacements  possibles  soient  données  par  des 
équations  finies,  elle  n’embrasse  pas  tous  les  problèmes  dy- 
namiques, car  il  y en  a parmi  ces  questions  où  ùF  n’a  pas 
une  différentielle  exacte,  comme  il  y en  a aussi  où  les  condi- 
tions de  déplacements  possibles  sont  données  par  des  équa- 
signant  une  quantité  indépendante  de  t.  En  différentiant  cette 
intégrale  relativement  à t et  à tout  ce  qui  varie  avec  t,  nous 
trouverons  le  résultat 
n . df  , lVr‘l(  Cb  > d(p  , \ 
qui,  par  la  nature  de  l’intégrale,  deviendra  identique  quand 
on  y remplace  x ; et  p';  par  leurs  valeurs  (2).  Ainsi,  après 
la  substitution  dont  il  s’agit,  on  pourra  différentier  ce  résultat 
par  rapport  à x k et  ;\  pk,  quel  que  soit  l’indice  k.  La  diffé- 
rentiation relative  à Xj.  donne 
0 = 
d2f 
dtdxi 
‘=£(jd± 
, \dx:d: 
i — 1 v ‘ 
i—n 
E 
i = I 
dxL 
dtp  dx'i 
dxk 
X i -f- 
d2cp 
dxpdp 
y/,) 
fdf 
\dxj 
df  dp'  \ 
dp;  drh) 
ou  bien,  à cause  de 
d2cp 
dtdxfr 
‘ £ (7—7- 
i_|  \dxidxl 
x 
d2cp 
clx'j 
dxk  ' 
dp'; . 
dj:h 
dx  p dp, 
d2U 
dx  p dp; 
d*U 
dxplx  p 
A 
d. 
dip 
dxi 
dt 
d. 
df 
dxi 
dt 
l=n  Pdf  dlU  dep  d2U  \ 
■ j \dp;  dx;dxp  dx;  dxp  dp;) 
df 
La  différentielle  d.  — — se  rapporte  a tout  ce  qui  varie  avec  /. 
On  ti’ouvera  de  la  même  manière 
df 
' dpk  _ 
i~n  (df  d2U  df  d2U  \ 
;=l  \dp;  dx-dpk  clx;  dPidpk) 
dt 
Supposons  que 
b if)  ( t , Xy  , X2  , X J . . . . Xu  , Py  , P2  , P3  . • . . prj) 
soit  une  autre  intégrale  des  mêmes  équations  différentielles 
(2),  b étant  comme  a une  quantité  indépendante  de  t.  En 
changeant  cp  en  1 \>  nous  aurons 
lions  ou  inégalités  différentielles,  non  intégrables  immédiate- 
ment. 
ip- 
dxk 
i=n 
— E 
/ dtp  d2  U 
dtp  d2-  U \ 
4)  Supposons  que 
dt 
i—\ 
\dp ■ dx;dx  k 
dx  1 dx  dp-  ) 
a — cp  (l,  x y,  x2,  x3 ... . xn , py , p2 , p3 . . . . pn) 
dPh 
'Tl 
'dtp  d2U 
Ji . 
dtp  d2  U N 
soit  une  intégrale  des  équations  différentielles  (2) , a dé- 
dt 
.=£ 
dp;  dx ; dp  p 
dx;  dp  J dp  k) 
d. 
Si  l’on  multiplie  la  différentielle 
df 
der  dtp 
par  , et  si  on  en 
dp  h 
dt 
retranche  la  différentielle 
df 
dp  k 
dt 
dtp 
dxp 
multipliée  par^-jil  viendra 
