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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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dt 
dtp  j dcp  dtp  dcp 
dpk  ' dxk  dxk  ' dpk  ~ 
i=n  ' dcp  dtp  d*U  dcp  dtp  dzU 
£ (- 
i=l  w/ 
dp k dx-dxk  dx i dpk  dxk dp- 
dp  dtp  d2U  da>  dtp  d2U  \ 
J • 
dp-  dx  k dx-plpp  dx  - dxk  clppdpkJ 
dtp 
d dxc 
Nous  aurons  de  même,  en  multipliant  la  dérivée  — ~ par 
d 
d(P  dPk dfP 
dPk 
et  retranchant  — ~~  multiplié  par 
dx. 
dt 
i=n  , 
dcp  d dtp  dcp  ^ dtp 
dph  dxk  dxk  dph  ~~ 
dcp  dtp  d2U  dcp  dtp  d2U 
dpk  dp p dxjdx k dpk  dx ; dxkdpp 
dcp  dtp  d2  U dcp  dtp  d2U 
dx  k dx  - dx  i dpk  dx  k dx 
ftp  dzU  \ 
’xi  dpidpk) 
Retranchant  l’un  de  l’autre,  les  deux  derniers  résultats,  on 
trouve 
’ dcp  dtp  dcp  dtp 
dixk  dpk  dpk  dxk 
‘•G 
;)= 
(d<p  dtp 
dtp  dtp  ' 
tL  \dpidph 
dpkdpi 
/dcp  dtp 
dcp  dtp  \ 
\dxkdpk 
dp  idc  k j 
■u 
idpk\ 
Désignons  la  quantité  comprise  sous  le  signe  £ par  Qi  k pour 
avoir 
/dcp  dtp  dcp  dtp  \ l-n 
En  prenant  la  somme  par  rapport  à l’indice  k,  depuis  k=  1 
jusqu’à  4=n,  il  vient 
d ^ s"  dV 
4=1  vfxh  dPk  dPk  dx 
k=n  i—n 
Tw\  CX  — CCi^CC 
B=dt,£  Z Qitk 
JLV  4=1  i=\ 
Mais  il  est  facile  de  s’assurer  qu’en  changeant  les  indices 
i et  k entre  eux,  la  quantité  Qi  k ne  fait  que  changer  le  signe 
en  sorte  que 
Qk  / — °- 
Par  conséquent 
k—n  i=n  k=n  i—n 
£ £ Q-k H-  £ E Qk{  = 0 
4=1  i=\  4=1  i=l 
d’»in  autre  côté , il  est  clair  que 
k=n  i=n  k—n  i—n 
£ £ Qik=  £ £ Qk-, 
4=  J i—  J 
4=1  j=1 
donc 
et  par  suite 
A=n  i=n 
Z Z Qi,k  = 0 
4=1  i=l 
d En(gL£-**L)= o 
,.\dxkdpk  dph  dxkJ 
:) 
la  différentielle  étant  relative  à tout  ce  qui  varie  avec  le 
temps,  l’intégration  donnera 
A=n  / dcp  df__  <h  dtp  ' 
[)  k=M*kdPk  dP, 
c étant  une  quantité  indépendante  du  temps  et  du  reste  ar- 
bitraire. 
La  formule  (3)  est  l’expression  du  célèbre  théorème  de 
Poisson.  Il  en  résulte  que  de  chaque  couple  d’intégrales 
a = cp,  b = ijj 
on  tirera  immédiatement,  c’est-à-dire,  sans  aucune  intégra- 
tion, une  troisième  intégrale,  qui  n’est  autre  chose  que  la 
formule  (3)  elle-même.  Il  en  résulte  aussi  que  le  premier 
membre  de  cette  formule  ne  dépend  pas  du  temps.  Pourtant, 
si  l’on  trouve  toutes  les  intégrales  des  équations  (2)  et  si  on 
en  tire  tous  les  x et  tous  les  p,  en  fonctions  du  temps  et  des 
constantes  arbitraires,  pour  en  substituer  les  valeurs  dans  la 
formule 
/ dcp  dtp  dcp  dtp\ 
4=1  W dPk  dpk  Sxk)  ’ 
le  temps  t s’en  ira  de  lui-même  de  cette  formule,  quelles  que 
soient  les  deux  intégrales  cp  et  -ip,  et  il  n’j  restera  que  les 
constantes  arbitraires  a,  b,  c,....  que  l’intégration  aura 
fournies. 
5.  Supposons  maintenant  que  les  équations  différentielles 
à intégrer  dérivent,  non  plus  de  la  formule 
£ [x  i dpi  — pi  dxi)  = ôF, 
i=l 
mais  de  celle-ci 
£ [x  i Spi  — p’i  dx;) 
i=  i 
:ÔFn-  £ {Xi8xi-t-P;dPi) 
i=l 
les  quantités  F,  X;  et  Pi  sont  fonctions  finies  quelconques 
des  x et  des  p. 
Cela  posé,  les  équations  différentielles  (2)  doivent  être 
remplacées  par  les  suivantes 
/ , dF  D 
\ Xi—  -7—  Pi 
(\)  dPi 
] { , dv  „ 
r‘  = ~lü-x‘ 
