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Bulletin  physico  - mathématique 
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qui  auront  lieu  pour  toutes  les  valeurs  entières  de  i,  de 
l'unité  à n. 
On  peut  admettre  que  les  intégrales  de  ces  dernières 
équations  soient  représentées  par  les  mêmes  formules  que 
pour  les  équations  (2),  à cela  près  que  les  constantes  arbi- 
traires a,  b , c etc.  sont  actuellement  variables,  c’est-à-dire 
qu  elles  renferment  les  quantités  t.  11  s’agit  de  déterminer 
ces  nouvelles  variables.  Pour  plus  de  commodité,  nous  re- 
présenterons les  quantités  a,b,c...  et  les  fonctions  cp,  y>, . . . 
respectivement  par  at,  a2,  a3  ...  a2n,  cpt,  cp2,  cp3. . . . cp2n . 
Dès-lors  les  formules 
«i  =<Pi  (L 
Xn , 
Pl  1 Pv.1  P 3 
• • P») 
«2  ==  Pl  (L 
xt , x2,  x3.  . 
X il , 
Pu  P»,  lh 
• . • Pu) 
ain  ~~~~  9*2/2  (L 
xt,  x2,  x3. . . . 
X n f 
Vl’lh’  P 3 
• • Pci) 
représenteront  à la  fois  et  les  intégrales  des  équations  (2)  et 
celles  des  équations  (4).  Elles  seront  intégrales  des  équa- 
tious  (2),  si  l’on  regarde  les  quantités  a comme  constantes,  et 
des  équations  (4),  quand  on  traitera  les  mêmes  quantités 
comme  variables. 
Prenons  une  quelconque  des  ces  intégrales 
U cp  [t,  X j , X2,  » • • • • * Pii  Vï  > P Z > ■ • • ‘ Pu  ) • 
Pour  plus  de  simplicité , nous  avons  enlevé  les  numéros  aux 
lettres  a et  cp,  nous  sousentendons  que  ces  lettres  portent 
un  même  numéro  quelconque  de  I à 2n.  En  dilférentiant 
cette  intégrale  dans  l’hypothèse  de  a variable,  afin  qu’elle 
appartienne  aux  équations  (4) , nous  aurons 
cia 
dt 
clcp  1 11  / dtp  , dcp  t \ 
ou  bien,  en  remplaçant  x i et  p ; par  leurs  valeurs  fournies 
par  les  équations  (4), 
da 
de 
dcp 
dt 
* y11  c dcp  dV  dcp  dV\ 
i~\  \dxidPi  dPi  dxJ 
‘T  (TL  p _ y A 
' dPlx‘) 
or,  par  la  nature  de  la  fonction  cp,  on  a identiquement 
donc 
dcp 
TL 
da 
dt  ' 
(dld^_  dç_dF\_ 
/=j  \dxidPi  dPid.rJ 
i—n 
U 
1=1 
d(L  P 
dx;  1 
dcp 
d 
7> 
nouvelles  variables  a et  qui  serviront  à déterminer  toutes  ces 
variables.  Mais  il  convient  de  mettre  sous  une  autre  forme 
les  seconds  membres  des  équations  dont  il  s’agit.  Comme  par 
les  équations  (5)  les  x et  les  p sont  fonctions  des  a , nous  au- 
rons 
4=2« 
Sx;  = X 
et  par  suite 
dx 
4=1  dak 
Làak,  dp; 
4=1  dah 
l==n  A=2w  i=n  dx-  du  \ 
Ï (X;8x;  -+-P;8p;)  = A’  Sak  X (X;  Pt 
i=\  4=1  i=.  1 dak  daJ 
ou  bien,  en  faisant  pour  abréger 
(,i) 
i=n  4=2/2 
X {X;8x;  -+-  PtSpi)  = X Ap  Sap 
/= 1 4=1 
mais,  ap  étant  fonction  cp & des  x et  des  p, 
8ak=  i I i 8xi  = ~¥i 8p*)  ’ 
donc 
2 = 22  l—n  / 4=2/2  T h='J.ll  r v 
I’  iXldxl^Pldpi)=  X (Sx;  X ÄÄJ,;  X iÆ 
/'=1  2 = 1 V 4=1  dx‘  4=1  dPi' 
cette  équation  ayant  lieu,  quelles  que  soient  les  variations  8-, 
il  s’en  suit  que 
4=2« 
4=2« 
v,=  ï.  A/:n,p,= 
4=  1 Re- 
mettant les  valeurs  dans  l’équation 
*=“  'dcp 
da 
dt 
X (d±  p. 
2=i  Uv  ' 
****** 
4=1  dPi 
&*) 
En  donnant  aux  lettres  a et  cp  tous  les  numéros  1,  2,  3 . . g 
on  aura  toutes  les  équations  auxquelles  doivent  satisfaire  les 
», 
celle-ci  deviendra 
da  _ /’~2"  . l~n  (dcp  /%  _ dcp  dcp,\ 
dt  4=1  ' * i=\  \dcidPi  dPidxiJ‘ 
Or  nous  avons  vu  que  l’expression 
1 x"  ( — Tla  _ Tl  Tla\ 
i—  J \dx;  dp;  dp  ; dx  ; J 
est  indépendante  du  temps;  si  donc  on  remplace  les  x et  les 
p,  qui  y sont  contenus,  par  leurs  valeurs,  en  t et  en  les  quan- . 
tités  a , tirées  des  équations  (5),  la  variable  t s’en  ira  d’elle 
même  de  sorte  que  l’expression  dont  il  s’agjt  ne  renfermera 
que  les  quantités  a. 
