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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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Faisons  pour  abréger 
‘Zn  f % (hk  dtp  <I<pi\ 
J U/  dp;  dp;dxt)  ' Cf>i  ^ ’ 
nous  aurons 
T k=2n 
(ICI  y 
(<P>  9/.)  Ak- 
dam 
dt 
' L (<pm,  n)Ai, 
h= i 
auront  la  propriété  remarquable  que  les  coefficients 
, . l7U  fdq,n  d'fl  d(pmdcf  A 
y(Pm,  9k)  — ^ } \dx;  dp;  dp;  dx;) 
ne  contiendront  que  les  variables  a sans  le  temps  t Pour  ce 
qui  regarde  les  fonctions  Ak,  ou 
elles  seront  aussi  fonctions  des  a,  après  qu’on  en  aura  chassé 
les  x et  les  p,  mais  elles  pourront  aussi  contenir  le  temps  t 
explicitement. 
Si  la  somme 
A ~(X;8x;  H-  P [dp;) 
i=\ 
est  une  différentielle  exacte  d’une  fonction  finie  fl,  en  sorte 
que 
A ( X;dxi  -t-  Pidp;)  = dfl , 
i= 1 
on  aura  visiblement 
Ak-- 
dn 
dai 
et  dans  ce  cas  particulier,  les  équations  différentielles  entre 
les  variables  a seront  représentées  par  celle-ci 
dam_kzfn.  df} 
dt  — T*)  dak 
En  donnant  à cp  et  à la  quantité  a tous  les  numéros  1,2, 3...  2w, 
on  aura  autant  d’équations  que  de  variables  inconnues  a.  Ces 
équations,  représentées  par  celle-ci 
A=2« 
7.  Ueber  die  'ntegrabilität  der  Functionen 
von  mehreren  veränderlichen  Grössen, 
von  Prof.  Dr.  II.  BRUUN  in  Odessa.  (Lu 
le  14  janvier  i 8A8.) 
Bekanntlich  zeigte  Euler  zuerst,  dass  wenn 
V=f(x,  y,  y,  y, \yn) 
und  Vdx  für  jede  beliebige  Relation,  zwischen  x und  y , 
grabel  sein  soll,  die  Bedingungsgleichung: 
inté- 
r- 
êt r')  d2(Y")  d*(¥"') 
0. 
(U 
dx  dx 2 dx 3 
Statt  finden  muss: 
v d-C  vr  dV  v .> / dV  ..  _ ..  t n 
wo  i = — > -l  — d =j-T/,  die  Grossen  x,  y , y,  y, 
als  unabhängig  von  einander  betrachtet. 
Sollte  aber  die  Gleichung  (1)  das  wahre  Critérium  der  In- 
tegrabilität  abgeben,  so  musste  noch  bewiesen  werden,  dass 
wenn  (I)  Statt  findet,  auch  Vdx  nolhwendig  integrabel,  d.  h 
dass  die  Bedingungsgleichung  nicht  nur  Statt  findet,  sondern 
auch  dass  sie  hinlänglich  sei. 
Dieses  zu  beweisen  versuchte  zuerst  Lexell  ( Novi  Com - 
mentarii  Ac.  Pctrop.  Tom  XV,  pay.  127).  Von  diesem  Beweise 
sagt  La  Grange:  La  démonstration  est  si  compliquée,  qu  il  est 
difficile  de  juger  de  sa  justesse  et  de  sa  généralité  [Cale,  des 
fonctions.  Paris  1806.  page  409). 
La  Grange  selbst  gab  einen  neuen  Beweis  [Calc,  des  fonctions 
Seile  405)  dieses  Satzes,  und  zeigte  wie  jVdx,  wenn  gleich 
nur  vermittelst  Reihen,  ausgedriiekt  werden  kann.  Poisson 
[Mémoires  de  l'Académie  des i sciences  1833  page  263)  nicht  zu- 
frieden mit  dem  La  Grange  sehen  Beweise,  giebt  einen 
neuen,  und  zeigt  zuerst  wie  )Vdx  in  geschlossener  Form 
ausgedrückt  werden  kann. 
Doch  ist  auch  der  Poisson’sche  Beweis  noch  sehr  künst- 
lich, während  dieser  Satz  wie  es  mir  scheint  sich  am  natür- 
lichsten und  einfachsten  auf  folgende  Art  beweisen  lässt.  — • 
Da  aber  sein  Beweis  von  dem  Beweise  der  Euler ’sehen  Be- 
dingungsgleichung abhängig  ist,  so  erlaube  ich  mir  auch  die- 
sen hier  zu  geben. 
I.  Es  sei  also 
V = f[x,  y,  y,  y , y ) 
das  noch  problematische  Integral: 
U=cp[x,  y,  y,  3 /"....)  =/Vdx [a). 
Dann  muss  wegen  der  willkührlichen  Relation  zwischen  x 
und  y 
Ut  = cp[x,  y(,  y t,  y't-—)  =f  Vtdx ( b ), 
wo  vt  = f[x,yt,yt,y  t,y  t....) 
und  yt  ==  F[y, t)  ist,  die  für  t — o in  y übergeht;  oder  hier 
einfacher  noch  yt  = y-+-  tdy , da  es  hier  nur  auf  die  ersten 
Variationen  von  U und  V ankommt,  die  von  den  höhern 
