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Bulletin  physico-mathématique 
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Variationen  von  y unabhängig  sind.  — Es  ist  als  auch 
td28y 
dx 
) etc.... 
! / tdSy  tr  ,, 
y t=y  i=y  “* 
Aus  [a]  und  (b)  folgt,  dass 
dU=  8/Vdx  =/8Vdx. 
Ist  also  Vdx  integrabel,  so  muss  auch  8Vdx  integrabel  sein, 
und  zwar  ist  8U  das  Integral. 
und  dieser  Ausdruck  wegen  der  Willkiihrlichkeit  von  dy  nur 
dann  allgemein  integrabel,  wenn 
Y d(  Y ) -+-  d 2 ( Y")  Y"r) 
= 0 (I), 
8U 
Nun  ist  aber  bekanntlich 
d(r')  _ d2( y")  d\r"') 
d 
=ßydx=J{y-^ 
Yf")  \ 
r 3 t-J  8ydx 
■<r- 
, d ( Y")  d2(Y"') 
dx 
rff  d{Y'") 
dx 2 
Sn 
( „ _ d(  Y 
V dx 
\djx 
) dx 
(- Y 
d2Sy 
dx  dx2  dx 3 
welches  die  Euler ’sehe  Bedingüngsgleichung  ist. 
II.  Findet  nun  diese  Bedingungsgleichung  statt,  und  setzt 
man  der  Kürze  halber,  mit  Poisson: 
vt  d(  Y")  d2(  Y'")  , „ 
1 ; « T-»— = fix, y,  y,y  ) 
dx 
Y„  __d{Y"') 
dx 
j-rrr 
so  erhält  man 
= * y»  y>  y" ) 
= f y>  y>  y' ). 
r rr  dSv  d^Sy 
8U  — x]j(x,  y,  y,  y" ) 8y  -+-  rc  [x,  y,  y,  y ) ■+■  f [x,  y,  y ) —X  -+- 
Es  ist  aber  8U—dlJl  für  i — o,  und  weil  t nur  auf  die  Werthe  von  y,  y,\j. ' nicht  aber  auf  die  Werthe  von  8y  Einfluss 
dt 
hat,  offenbar  für  jeden  Werth  von  t 
dU,  . t rr  , „ , t dSy  , 
y[x,  yt,  y t,  y , ) 8y-Y7T  [x,  yt,  y t ) H-  f[x,  yt,  y t 
d2Sy 
dx2 
Da  nämlich  U,  = cp  [x,  y,,  y t,  y" t ),  so  hat  offenbar 
die  Form 
= F(x>  yt  >yt ) sv  -+-  Fi  (x>  Vt  > y t • ' — 
also  für  t = 0 : 
du, 
dt 
dx 
dU 
uut  r , ' \ a r>  ! t \ aoJ 
-jj-  = F(x,y,y ) 8y  -+-  [x,  y,  y ) — 
dSy 
dx 
mithin 
Æt  ff  f aöy  r 
f{x,  yt , y t,  y t ) Sy  ~ytc[x,  yt,  y t ) ^ / (*»  yt>  y t 
F{x>  y,  y ) = yj  (x,  y,y ) 
Fi  {x,  y,  y )=7v  (x,  y,  y ) 
u.  s.  w., 
also  auch,  da  die  Relation  zwischen  x und  y eine  willkür- 
liche, 
F[x,  yt,  y t ) = V {x,  yt,  y t ) 
Fi  (x,  yt,  y t ) = x [x,  yt,  y t ). 
Es  wäre  demnach 
d8j  tt  r \d28y 
dx 
dl 
und  wenn  man  das  Integral  innerhalb  der  Gränzen  t = 0,  t = 1 nimmt,  bemerkend,  dass  für 
rv  TT  /•/./  ! " 
t = 0,  Ut  =J f[x,  y,  y,  y,  y ■ 
dx 
1=1,  U,  = ff(x,y  + Sy,  y -+-  % y"  ^T") 
so  erhält  man: 
dx 
rfC  » t d8j  ,,  d28j\  , ,, 
Jf[x>y-Y  8y,  y -+-  JP  y -+-  dx  — Jf[x , y,  y,y  ) dx  = 
td8y 
dx 
r* 
■)  8y  -+-  x (x,  y -Y  t8y,  y -4-  -+-  f (x,  y H-  t8y, 
fjy  (x,  y -t-  t8y,  y 
und  wenn  man  y = 0,  8y  = y setzt. 
./ 'f(x,  y,  y,  tj"....)  dx  =/f{x,  0,  0,  0, ....)  dx  -+-/0[yip[x,  ly,  ty  , ly’...)  i y'x(x,  ly,  ly'....)  » y"f{x,  ly,  ly....)1  dt 
welches  mit  dem  Resultate  Poisson’s  vollkommen  übereinstimmt. 
dlsil 
1 dx*  J 
Emis  le  29  avril  1848- 
