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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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ySi ncp 
qCos<f: 
(bSin/3  -c-  c Sin  y)  u — a Sm  ß:v  H-  a Sin  y.w 
(c  — a Co.i p)Siu  y -t-  (b  — a Cos  y) S'mß 
(b  Cos  ß — C Cos  y)  u -t-  (C  — a Cos  3)  v -l-  (b  — a Cos  y)w 
(c  — a Cos/3)Sm  y -s-  (b  — a Cosy) Sin /3 
, (b2  -+-  c2  — 'ibc  Cos  a)  u 2 h-  (a2  -i-  c2  — 'iac  Cos  ß)  i>2  •+-  (a2  -h  b2  — 2abCosy)w- 
Addirt  man  die  Quadrate  von  qSincp  und  qCoscp,  so  findet 
man  (mit  Berücksichtigung,  dass  die  Summe  der  Winkel  a, 
ß und  y,  = 360°) 
(fl  Sin  a —h  b Sin ß -t-  cSm  yy 
b2v2 
(a  Sin  a bSm  ß -+-  cSin  yy 
(2) 
wenn  man  die  drei  Seiten  des  Dreiecks  A B C' , B C'  = a, 
CA  — b,  A B = c nennt. 
Nehmen  wir  jetzt  an,  dass  die  Puncte  A,  B,  C auf  dem 
Messtische  mit  gleicher  Genauigkeit  aufgetragen  sind,  und 
dass  der  mittlere  Fehler,  womit  die  Lage  eines  jeden  behaftet 
ist,  =e  sei;  so  ist  der  mittlere  Fehler  in  der  Lage  eines  der 
Puncte  A,  B,  C nach  einer  gegebenen  Richtung  hin,  oder 
die  Projection  des  Fehlers  e auf  eine  gegebene  gerade  Linie 
= siY  i.  Wird  nun  der  mittlere  Fehler,  welchen  man 
beim  Anlegen  der  Schärfe  des  Lineals  auf  einen  auf  dem 
Messtische  gezeichneten  Punct  begeht , £ genannt  ; so  ent- 
spricht den  wirklichen  Fehlern  u,  v,  w ein  und  derselbe 
mittlere  Fehler  Y 2£2  = rj.  Der  mittlere  Fehler  in  der 
Lage  des  Puncts  N,  oder  der  mittlere  Fehler,  der  dem  wah- 
ren Fehler  q entspricht,  wird  demnach 
= t*  ■ 
Ya2 
Û Sin  a -+-  bSin/3  -+-  cSin  y 
.(3) 
Für  jeden  Punct  im  Umfange  des  um  A B C beschriebe- 
nen Kreises  wird  a Since  -i-  bSin/J-r-  cSiny  = 0,  mithin  fi 
unbegränzt  gross.  Suchen  wir  jetzt  die  Lage  des  Puncts  M 
«Sin  yiSino 
rtSma  r b Sin ß -+-  cSiny  =— — — g-t 
für  welche  (i  (ohne  Rücksicht  auf  das  Vorzeichen)  am  klein- 
sten wird. 
Sei  (Fig.  2)  LB  A'C'  = A,  Ï.A'b'c'  = B,  AB  C'a'  = C, 
z CMA'C ' = /,  Z. MB  A'  = if>,  jLMC  B'  = a,  so  ist 
A'M.B'C.  Sin  B'C'M 
ûSina  = A M Sin B MC  = -r— 
B'M 
«Sin  y>  Sin cj 
Sin  (A  — /) 
Durch  gehörige  Versetzung  der  Buchstaben  erhält  man 
hieraus 
bSin^l  — ÄSinySinö 
tSiny 
Man  hat  daher,  wenn  n = 
Sin  (it  — f) 
cSin  y Sin 
Sin  ( C — o) 
a b 
Sui  A Sin  it  SinC 
ZiSinySincj  cSin/Siny; 
“I  ' " 
Sin  (A — /)  Sin  (73—  f)  Sin  (C — <jj 
^ r S;n  ^ Si  ny;  Sinei  Sin/tSinySino  Sin  CSin  % Sin  y/  I 
L Sin(vi  — x)  Sin  (it — y)  Sin(C — <o)  J 
(4*) 
Die  Relation  zwischen  den  Winkeln  r fj  und  a giebt  die 
T 
3 
A'M  B'M  C'M 
identische  Gleichung 
B'M  C'M'  A'M 
aus  dieser  folgt  nämlich 
= 1; 
Sin  x Sin  Sin  ca  = Sin  [A  — x)  Sin  [B  — ip)  Sin  [C  — to) ...  (5) 
Setzt  man  jetzt  x '■ 
■ç,  ifr. 
k*- 
■ <7,  (0 
kP- 
■r. 
und,  um  abzukürzen,  uSina  -t-  bSin/?  -+■  cSiny  = s,  so  wird 
Gl.  (4),  wenn  aus  derselben  co  mit  Hülfe  der  Gl.  (5)  elirainirt 
worden. 
i = n Sin  A Sin  B 
— n Sin  A Sin  B 
Cos \C2  — Sin(p  — o')2 
"/[4Sin  ±A2  Sin  ±Zt2  CosiC2  -+-  Sin  it  Sin  C Sin  p2-»-  Sin  A Sin  CSin  o2  — Sin  A Sin  B Sin  (p  — *o)2] 
CosiC2  — Sin  (p  — c)2 
Gl.  (5)  wird 
Y [4Cosi^2Cosi.ß2  CosiC2  — Sin  it  Sin  CCosp2  — Sin  A Sin  C Cos  ol  — Sin  A Sin  B Sin  (p  — -o)2] 
Sin(|A-f-ç)Sin(|5-»-cr)Sin(iC,-HT)  = Sin(iA  — ç)Sin(i.S  — c)Sin(iC  — t) 
,......(6) 
(7) 
(8) 
