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Der  Werth  von  fi  — 
7 1 wird  ein  Minimum 
••Maximum  zu  erhalten,  den  aus  (6)  folgenden  Werth  von  ss 
in  Bezug  jjuf  q und  <7,  so  findet  man,  wenn  man,  um  abzu- 
kürzen, den  Nenner  in  den  Ausdrücken  von  s (Gl.  6 und  7) 
mit  N bezeichnet , 
ohne  Rücksicht  auf  das  Vorzeichen,  wenn  fifi  ein  Minimum 
oder  ss  ein  Maximum  ist.  Differéntiîrt  man,  um  das  letztere 
fi  ( fb 
Y(! "=0=z  — ^4SinA2SinÆ2[CosiC2— Sin(ç— ff)2]|2iV2Sin2(ç— o-)H-[CosiU'— Sin(ç— o-)^][Sin/?SinrSin2ç— SinTSinJ?Sin2(ç— a)]  J.  (9) 
~~-=zo  — -^SinA2SinJ§2[Cos|C'2— Sin(ç— ff)2]|2i\riSin2(ç— a)— [CosiC2— Sin(ç— ff)2]  [SinASinCSin2cr--i-SinASi'n2?Sin2(p— ff)]j. . (10) 
Beide  Gleichungen  enthalten  den  Factor  Cos|U2 — Sin(p — er)2,  so  erhält  man: 
so  dass  ihnen  also  durch  die  Gleichung  | Sin/iSin?p  -+-  Sin  A Sin  2a  = 0 (12) 
Cos|U*  Sin(ç  ff)  =0.  . . (11  Dieser  Gleichung  müssen  alle  zu  einem  Maximum  oder  Mini- 
Genüge  geleistet  wird.  Diese  Gleichung  ist  die  eines  um  mum  von  ss  gehörenden  Werthe  von  q und  o Genüge  leisten, 
ABC  beschriebenen  Kreises  und  gehört  lolglich  zu  den  diejenigen  ausgenommen,  welche  zur  Gl.  (1 1)  gehören, 
schon  erwähnten  Puncten  für  welche  [/,=  co  wird. 
Addirt  man  die  Gleichungen  (9)  und  (10)  und  dividirt  man 
die  Summe  durch  | -^7?  SinASinß2[CosiC2 — Sin  {q — <r)2] 
Die  Gl.  (9)  durch 
„2 
Sin  A2Sin  ß- [Cos±C2  — Sih(p — o2)]2SinU 
N* 
dividirt,  giebt,  mit  Berücksichtigung  der  Gl.  (12), 
I—  8SiniA2Siniß2Cos|C2H-  SinASinßCos^C2  — 2SinßSinCSinp2  — 2SinASin USinff2 -+-  SinASinZ?Sin(p  — ff)2]  x 
‘2'~  ““‘2 
(SinACos2ff 
Sin  .ß  Cos  2p)  Sin  2p 
Hiernach  ist  nun  entweder 
[Cos  iC2  — Sin  (p  — er)2]  Sin  A Sin  B Sin  C Sin  2p  = 0. 
Sin2p  = 0,  und  dann  nach  Gl.  (12)  auch  Sin2ff  = 0, , . 
Sin  ASiniîCos  4U2  — 2SinßSin  C Sinn  2 
oder 
[—  BSiniA2  Sin  A .ß2  Cos  ^ 
(Sin  ACos2ff  i Sin  ßCos2p)  — [Cos  |C2  — Sin  (p  — ff) 2]  Sin  A Sin  B Sin  C 
Den  Gleichungen  (13)  entsprechen  die  Werthe  p = 0°, 
p = 90°;  er  = 0°,  a = 90°  und  alle  diejenigen  Werthe  von 
p und  ff,  welche  um  ganze  Vielfache  von  180°  von  ihnen 
abweichen.  Diese  letztem  sind  irnless  nicht  als  wesentlich 
verschieden  von  den  aufgeführten  anzusehen,  da  zwei  um 
ganze  Vielfache  von  180°  verschiedene  Werthe  einer  der 
Grössen  p oder  a zu  derselben  geraden  Linie  gehören.  Es 
werden  hier  daher  von  den  zu  den  Gleichungen  (13)  gehören- 
den Werthen  von  p und  a nur  0°  und  90°  berücksichtigt  wer- 
den. Fügt  man  den  verschiedenen  Verbindungen  dieser 
Werthe  alle  ihnen  entsprechenden  Werthe  von  r,  Avie  sie 
aus  Gl.  (8)  folgen,  hinzu,  so  erhält  man  folgende  Systeme 
von  p,  ff  und  r,  welche  den  Gl.  (8)  und  (13 
leisten  : 
A3) 
Sin  A Sin  B Sin  (p — )2]  X 
■(H) 
Genüge 
(15) 
2Sin  ASinCSincr2 
0 
Q — 0°  , ff  = 0°  , T = 0° 
p = 0 , ff  = 90,  x — 90 
p — 90,  er  = 0 , t = 90 
p = 90,  er  = 90 , t ==  0 
Der  Punct  welcher  durch  die  ersten  dieser  Werthe,  näm- 
lich durch  q = 0,  ff  = 0 und  r = 0,  bestimmt  wird,  gehört 
zu  einem  Maximum  von  ss;  die  den  übrigen  Werthen  von 
p,  er  und  t entsprechenden  Puncte  gehören  weder  zu  einem 
Maximum  noch  zu  einem  Minimum  von  ss.  Hievon  überzeugt 
man  sich  auf  folgende  Art. 
Entwickelt  man  den  aus  Gl.  (6)  folgenden  Werth  von  ss 
nach  den  steigenden  Potenzen  von  q und  ff,  so  erhält  man, 
wenn  man  nur  bis  zu  den  Grössen  2ter  Ordnung  von  q und  or 
geht, 
s2=MUCosiA2Cosiß2CosiU2-4n2Cos|A2Cosiß 
/ S i n i A 2 -a— Si  n 4 C2 
S§4Ä2-t-Sm4C2 
. Sin4C — Sin4-^Sin4S 
:4»i2Cos|A2Cos|jS2Cos|U2 — 
2SinA2Cc 
SiniA2  s 
#2Cos4C2  f/  Sii)4A2-i-Sini-C2 
Sm4ß2 
Sin  4^  Sin  î-B 
-pff 
Sin4A2-i-Sin4C2 
[r 
Sin4A2CosiC’  s SiniASini/tCosiC 
Setzt  man  in  Gl.  (7)  q = 90°  -t-  q , a 
Si  i>4C — Sin4ASin4ß 
2Sin4t’ 
Da  Sin  AA,  SinAJ?,  Sin \C immer  positiv  sind,  so  ist  das  Glied 
dieser  letzten  Gleichung,  welches  q und  a enthält  immer 
negativ,  welche  reelle  Werthe  für  q und  a auch  angenommen 
werden  mögen.  Es  findet  daher  ein  Maximum  von  ss  statt, 
wenn  q = 0 und  ff  = 0. 
ff2 
SinirjSiiiiß 
= 90°  -+-  und  ent- 
wickelt man  den  Werth  von  ss  nach  den  steigenden  Potenzen 
von  q und  a , so  erhält  man  bis  zu  den  Grössen  2ler  Ord- 
nung von  q'  und  o'. 
$2=4n2SiniA2SiniJ?2Cos|U2 — n2 
SinA2  Sini/?2  CosiC2  r 
“c  CosiA2-r-Sn;iC2  / 
SiryF-i-Co.siACosiö 
1 2 2 * G \ 
2SiniC  a'z~\ 
Cosy  A2-i-Siii  4C2  L 
2 2 *“ 
CosX.42C.oiiC  ^ 
Cosi-ACos-iA  CosiC  1 
Cosi  A Cos i-ß  J 
