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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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Das  Glied  in  diesem  Ausdrucke,  welches  q und  a enthält, 
kann,  wie  man  sieht,  Null  werden  ohne  dass  q und  a = 0 
sind  ; daher  findet  für  q'  = 0 und  a = 0,  oder  für  q = 90° 
und  a = 90,  kein  Maximum  oder  Minimum  von  ss  statt.  Auf 
gleiche  Art  lässt  sich  beweisen,  dass  q = 90°,  z = 90°  und 
<7  — 90°,  r = 90°  zu  keinem  Maximum  oder  Minimum  von  ss 
gehören.  Demnach  gehört  von  den  vier  unter  (15)  zusammen- 
gestellten Systemen  der  Werthe  von  q,  a und  z nur  das  erste 
zu  einem  grössten  Werthe  von  ss. 
Wurzeln  der  Gleichungen  (12)  und  (14)  sind 
p=-t-|A,  a= — i B,  so  wie  q= — |A  und  <7=-t-±2?...(16) 
Die  beiden  ersten  Werthe  geben  nur  die  Dreiecksseite  A B 
(Fig.  2)  als  die  gerade  Linie  an,  auf  welcher  der  ihnen  ent- 
sprechende Punct  M liegt,  ohne  den  Ort  auf  dieser  Linie 
näher  zu  bestimmen.  Die  beiden  letztem  Werthe  von  q und  er 
geben  C , also  einen  zwei  Dreiecksseiten  gemeinschaftlichen 
Punct,  für  den  ihnen  entsprechenden  Punct  il I.  Auf  den 
Dreiecksseiten  A B , B C , C'a',  oder  ihren  Verlängerungen, 
kann  indess  kein  Punct  liegen,  der  zu  einem  Maximum  oder 
Minimum  von  ss  gehört,  wenn  man  nicht  etwa  die  Eckpuncle 
Al,  B',  C'  als  zum  Umfange  des  um  das  Dreieck  AB  C um- 
schriebenen Kreises  und  deshalb  zu  einem  Minimum  von  ss 
gehörend,  ansehen  will.  In  der  That,  es  wird  später  gezeigt 
werden , dass  wenn  der  Punct  M seinen  Ort  nur  auf  der  Linie 
A B verändert,  der  Werth  von  ss  am  grössten  wird,  wenn  der 
Punct  M in  m (Fig  2)  eine  solche  Lage  hat,  dass  t LC'mA ' 
=90°.  Nimmt  man  jetzt  an,  dass  der  Punct  m seinen  Ort  ein 
wenig  in  der  auf  A B senkrechten  Richtung  nach  m verän- 
dert, so  ist,  wenn  man  mm"  mit  £ bezeichnet  und  nur  die 
ersten  Potenzen  von  £■  berücksichtigt,  a = m" â'  = m A' , 
I'  — — ni  B = m B , c = m C'  — | , a = - - — ; 
s 2 1) 
o n I II  -n. 
p — AT~  7’  7 = 7r  — — — -.  Dieses  in 
ss  — (aSina  h-  bSin/?  -+-  cSiny)2 
substituirt,  gieht 
SS  : 
'IC 
Sin  C 
Cos  A Cos  ß 
Da  dieser  Ausdruck  £ in  der  ersten  Potenz  enthält,  so  ist 
offenbar,  dass  für  § — 0,  ss  kein  Maximum  sein  kann. 
Die  Werthe  von  q und  er,  welche  ausser  den  unter  (16) 
genannten,  den  Gleichungen  (12)  und  (14)  noch  Genüge  lei- 
sten, gehören  für  den  besonderen  Fall,  dass  ZA  = Z. /?,  zu 
keinem  Maximum  oder  Minimum  von  ss  ; es  können  daher 
q und  o auch,  wenn  A und  B ungleich  sind,  keine  allgemein 
gültige  zu  einem  Maximum  oder  Minimum  von  ss  gehörende 
Werthe  haben.  Ist  nämlich  A = B,  so  verwandeln  sich  die 
Gleichungen  (12)  und  (14)  in  diese: 
Sin2p  -+-  Sin2cr  = 0. . J7) 
[—  3CosA2  -t-2CosA(Cos2ç  -+-  Cos2u)  — Cos(p  — er)2]  (Cos2p  h-  Cos2<t)  — 2[Cos(p  — er)2  — CosA2]  CosA  = 0 . .'(18) 
Wenn  Gl.  (17)  statt  findet,  so  ist  entweder  Cos2p  — -+-  Cos2cr 
oder  Cos2p  = — Gos2u.  Im  letztem  Falle  würde  sich  die 
Gl.  (18),  mit  Berücksichtigung  der  Gl.  (17),  auf  2CosA3=:0 
reduciren,  und  folglich  zu  keinen  Werlhen  von  q und  a 
führen.  Setzt  man  Cos2p  = -+-  Cos2a,  so  wird  Gl.  (18) 
(—  Cos 2p  -t-  Cos  A)3  = 0. 
Diese  Gleichung  hat  drei  gleiche  Wurzeln  Cos2p  = CosA, 
die  aber,  wie  vorhin  gezeigt  worden,  zu  keinem  Maximum 
von  ss  gehören.  Die  vorhin  gefundenen  Werthe  p=0,  (7=0, 
t — 0 sind  daher  die  einzigen  für  welche  ein  Maximum  von 
ss  statt  findet.  Für  diese  Werthe  von  q,  a und  z wird  M der 
Mittelpunct  des  im  Dreiecke  A B C’  eingeschriebenen  Kreises, 
woraus  sich  folgender  Satz  ergiebU 
Die  Station  wird  mit  der  grössten  Sicherherheit 
bestimmt,  wenn  sie  im  Mittelpuncle  des  im  Drei- 
ecke eingeschriebenen  Kreises  liegt. 
Dieser  Satz  scheint  mir  um  so  mehr  einige  Beachtung  zu 
verdienen,  da  selbst  in  einem  der  neuesten  und  vorzüglich- 
sten Werke  über  practische  Geometrie,  in  Barfuss  Hand- 
buch der  höheren  und  niederen  Messkunde , Weimar  1847,  S.238, 
noch  irriger  Weise  der  Mittelpunct  des  umgeschriebenen 
Kreises  als  derjenige  Punct  genannt  ist,  wo  die  Bestimmung 
am  sichersten  sei. 
Es  könnte  auffallend  erscheinen,  dass  ausser  dem  absolu- 
! ten  Minimum  von  ,u  keine  relative  Minima  gefunden  sind; 
! denn  da  /t  sowol  für  die  Puncte  im  Umfange  des  um  ABC 
j beschriebenen  Kreises,  als  auch  für  diejenigen,  welche  in 
unendlichem  Abstande  rings  um  das  Dreieck  ABC  liegen, 
unendlich  gross  wird,  innerhalb  beider  Gränzen  aber  überall 
einen  endlichen  Werth  hat,  so  liegt  es  sehr  nahe,  einzelne 
Puncte  oder  Curven  relativer  Minima  zwischen  diesen  Grän- 
zen zu  vermuthen.  Der  Grund  weshalb  solche  Minima  den- 
noch nicht  Vorkommen  liegt  darin,  dass  ,u  für  die  Eekpuncte 
des  Dreiecks  ABC,  obgleich  sie  zum  Umfange  des  um  ABC 
beschrieben  Kreises  gehören,  nicht  unendlich  gross  sondern 
unbestimmt  ist.  Man  kann  daher  vom  Mittelpuncte  des  im 
Dreiecke  ABC  eingeschriebenen  Kreises  durch  einen  Eckpunct 
und  einen  beliebigen  Punct  ausserhalb  des  umgeschriebenen 
Kreises  bis  ins  Unendliche  Curven  ziehen,  für  welche,  als 
Oerter  der  Stationen,  der  Werth  von  li  mit  der  Entfernung 
vom  Mittelpuncte  des  eingeschriebenen  Kreises  ununterbro- 
chen wächst,  ohne  dass  auf  dem  Wege  irgend  ein  Minimum 
oder  Maximum  angetroffen  wird. 
