A?  171  BULLETIN  Tome  VIII. 
JŸ  3. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-PÉTERSBOURG). 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro, 
l’enveloppe,  le  frontispice,  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidov  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume , est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements , et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne  à St.-Pétersbourg  chez  MM.  Eggers  et  Cie.,  libraires,  commissionnaires  de  l’Académie,  Nevsky-Prospect,  No.  1 — 10.  Les  abonnés 
des  gouvernements  sont  priés  de  s’adresser  au  Comité  administratif  (KoMHTeTb  lIpan.ieuiH),  Place  de  la  Bourse , avec  indication  précise  de  leurs 
adresses.  L’expédition  des  numéros  se  fera  sans  le  moindre  retard  et  sans  frais  de  port.  Les  abonnés  de  l’étranger  s’adresseront,  comme  par  le 
passé,  à M.  Léopold  Voss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  4.  Sur  les  intégrales  des  équations  générales  de  la  Dynamique.  Ostrogradsky.  VOYAGES.  1.  Rapport 
sur  un  voyage  à la  presqu'île  de  Ranine.  Grewingk.  BULLETIN  DES  SÉANCES. 
xr  o T e s. 
4.  SüR  LES  INTÉGRALES  DES  É Q UA  Tl  O NS  GÉN  ER  A L ES 
de  la  Dynamique;  par  M.  OSTROGRADSKY. 
(Lu  le  6 octobre  1848.) 
Les  équations  du  mouvement  dérivent  de  la  définition  géo- 
métrique du  système  que  l’on  considère  et  du  principe  géné- 
ral et  purement  dynamique  des  moments. 
On  possède  la  définition  du  système,  quand  on  en  connaît 
tous  les  déplacements  virtuels  ou  possibles,  c’est-à-dire  tous 
ceux  dont  le  système  est  capable  à chaque  instant.  Ayant  ces 
déplacements,  on  en  connaîtra,  en  même  temps,  tous  les  autres, 
savoir  : ceux  que  le  système  ne  saurait  acquérir,  parce  qu’ils 
sont  contraires  à sa  nature,  ou  bien,  parce  que  des  obstacles 
extérieurs  empêchent  qu’ils  puissent  avoir  lieu.  Les  mou- 
vements dont  il  s’agit  s’appellent  impossibles;  en  les  réunis- 
sant aux  mouvements  virtuels,  on  aura  tous  les  déplacements 
instantanés  que  l’on  peut  concevoir  dans  le  système. 
On  distingue  les  déplacements  instantanés  virtuels  des  dé- 
placements instantanés  impossibles,  par  des  conditions  que  les 
premiers  remplissent,  et  auxquelles  les  seconds  ne  satisfont 
point.  Les  conditions  dont  nous  parlons  sont  des  relations, 
équations  ou  inégalités,  linéaires,  entre  les  projections  des 
déplacements  virtuels,  sur  certaines  directions  désignées  dans 
chaque  cas  particulier,  mais  qu’on  ne  saurait  indiquer  en  gé- 
néral pour  un  système  quelconque.  Tout  déplacement  qui 
satisfait  à ces  équations  et  à ces  inégalités,  est  virtuel;  au  con- 
traire , celui  qui  n’y  satisfait  pas,  est  impossible.  Or,  la  con- 
naissance des  déplacements  virtuels  et,  par  suite,  celle  des 
déplacements  impossibles,  entraînant,  comme  nous  l’avons  dit 
tout-à-l’heure,  la  définition  géométrique  du  système,  on  dit 
que  celui-ci  est  donné  ou  défini  par  ces  mêmes  relations  qui 
en  font  distinguer  les  déplacements  virtuels  de  ceux  qui  ne 
le  sont  pas. 
Supposons,  pour  fixer  les  idées,  qu’on  ait  réduit  à zéro  les 
secondes  parties  des  relations,  c’est-à-dire  des  équations  et  des 
inégalités  dont  il  est  question;  leurs  premières  parties  seront 
fonctions  des  coordonnées  du  système,  du  temps  et  de  leurs  diffé- 
rentielles, ou  des  variations  du  premier  ordre.  Les  dernières, 
différentielles  ou  variations,  y remplaceront  les  déplacements 
des  points  du  système,  et,  comme  ces  déplacements,  ils  n’y 
seront  jamais  que  sous  la  forme  linéaire.  Ainsi,  en  désignant 
par 
t,  x,  y,  z.  . . 
le  temps  et  les  coordonnées  quelconques  qui  fixent,  à chaque 
instant,  la  position  du  système,  nous  aurons  pour  sa  définition 
géométrique  certain  nombre  de  formules,  comme  celles-ci 
(1)  Tdt  -+-  AAx  H-  BAy  -u-  CAz  -+-  ... 
dont  quelques-unes  auront  zéro  pour  valeur,  d’autres  seront 
plus  grandes  et  d’autres  enfin  plus  petites  que  zéro;  mais 
aucune  n’excluant  la  valeur  zéro,  et  ne  pouvant  être  tantôt 
plus  grande,  tantôt  plus  petite  que  zéro.  Toute  formule  qui 
ne  remplissant  pas  la  dernière  condition,  pourrait  acquérir 
des  valeurs  positives  et  négatives  , ne  gênerait  en  rien  le 
système. 
