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Bulletin  physico  - m athématique 
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Les  quantilés 
T,  A,  B,  C,. . . . 
sont  fonctions  connues,  dans  chaque  cas  particulier,  du  temps 
et  des  coordonnées , et  les  variations 
dt,  Ax , Ay,  A z, ... . 
représentent,  la  première,  l’élément  du  temps,  et  les  autres  les 
différentielles  du  premier  ordre  des  coordonnées,  — différen- 
tielles relatives  à tout  déplacement  instantané  que  l’on  puisse 
imaginer  dans  le  système.  Comme  les  déplacements  auxquels 
elles  répondent,  les  différentielles  dont  il  s’agit  ne  sont  limi- 
tées que  par  leur  petitesse  excessive,  du  même  ordre  que  dt ; 
mais,  du  reste,  elles  sont  absolument  arbitraires.  Quand  elles 
satisfont  à la  définition  du  système,  elles  se  rapportent  alors 
aux  déplacements  virtuels,  et  elles  appartiennent  aux  déplace- 
ments impossibles  dans  le  cas  contraire. 
Pour  plus  d’uniformité  et  pour  fixer  les  idées,  il  convient 
de  changer  le  signe  de  chaque  formule  capable  de  valeurs  né- 
gatives, dans  la  définition  du  système;  en  sorte  que,  si  l’on 
avait  par  exemple 
(1)  Tdt-i-AAx  + BAy-i-CAz.  . . < 0, 
on  prendrait 
— Tdl  - AAx  — BAy  — CAz  — >0. 
Des  changements  semblables  n’altèrent  en  rien  la  nature  du 
système  et  sont  visiblement  permis.  De  cette  manière  le 
système  ne  sera  défini  que  par  des  équations  et  des  inégalités 
aux  secondes  parties  positives.  Soient,  pour  abréger, 
(2)  A L > 0,  4M>  0,  AiV>  0, 
les  formules  relatives  à cette  définition,  dont  quelques-unes 
peuvent  être  des  équations,  et  dont  aucune  n’exclut  l égalité. 
Les  différentielles 
AL,  AM,  AN,.... 
sont  des  expressions  semblables  à celle  qui  est  marquée  du 
no.  (1). 
Le  déplacement  actuel  du  système  est,  sans  doute,  compris 
parmi  ses  déplacements  possibles,  et,  par  conséquent,  il  doit 
satisfaire  aux  conditions  (2)  ; ainsi,  en  désignant  par 
dx,  dy,  dz, .... 
les  différentielles,  relatives  au  temps,  des  coordonnées  x,  y , 
z,. ,.  et  changeant  la  caractéristique  des  variations  A en  ca- 
ractéristique différentielle  d,  nous  aurons  les  inégalités 
dl>  0,  dM>  0,  <LV>  0,  ... 
qui  non  seulement  peuvent  être  des  équations,  mais  elles  le 
seront  nécessairement,  d’après  une  discussion  établie  ailleurs*). 
*)  Voyez  Sur  les  déplacements  des  systèmes  aux  conditions 
variables"  dans  les  Mémoires  de  l’Académie  des  sciences,  Tome 
D,  pag.  989. 
En  effet,  nous  y avons  prouvé  que  toute  inégalité,  comprise  parmi 
les  (2),  qui  ne  devienne  pas  équation,  quand  on  passe  des  dépla- 
cements virtuels  au  déplacement  effectif,  peut  être  supprimée 
comme  ne  gênant  pas  le  système,  ou  plutôt,  comme  se  rappor- 
tant à une  liaison  qui  n en  empêche  en  rien  le  mouvement. 
On  affranchira  donc  le  système  de  semblables  liaisons,  et,  par 
conséquent,  des  conditions  qui  s’y  rapportent.  Il  en  sera  de 
ces  conditions  comme  des  fonctions  linéaires  des  différentielles 
dt , dx,  dy,  dz,  .... 
fonctions  prises  en  dehors  de  la  question,  et  ayant  des  valeurs 
positives;  elles  resteraient,  sans  doute,  positives  pendant  un 
certain  intervalle  de  temps;  mais  leur  considération  serait  en- 
tièrement étrangère  à la  question. 
De  cette  manière,  les  équations  du  mouvement  qui  dérivent 
de  la  définition  du  système  seront,  les  mêmes,  soit  que  cette 
définition  ne  s’exprime  que  par  des  équations,  soit  qu  elle  dé- 
pend aussi  des  inégalités.  A cela  près  pourtant  que,  dans  le  der- 
nier cas,  quelques  unes  des  équations  du  mouvement  peuvent 
disparaître  soit  les  unes  après  les  autres,  soit  simultanément, 
comme  elles  peuvent?  aussi  reparaître  après  une  absence  d’une 
certaine  durée.  Donc,  en  ne  considérant  le  système  que  pendant 
l'intervalle  de  temps,  ou  aucune  équation  ne  disparait  et  ne  ré- 
parait, nous  aurons  pour  toute  la  durée  de  cet  intervalle 
(3)  dL  = 0,  dM  — 0,  dN=  0, 
La  durée  dont  il  s’agit  sera  celle  du  mouvement  total,  si  la 
définition  du  système  ne  dépendait  que  des  équations;  mais  ; 
il  en  sera  autrement  dans  le  cas  contraire,  c’est-à-dire,  quand 
la  définition  du  système  comporterait  des  inégalités.  Alors, 
à différentes  époques,  quelques-unes  des  équations  (3)  pour- 
l'aient  disparaître,  d’autres  reviendraient  pour  assujettir  les 
systèmes,  et,  par  suite,  la  durée  en  question  sera  l’intervalle 
de  temps  compris  entre  deux  époques  consécutives  dont  il 
vient  d’être  question.  Pendant  cet  intervalle  la  définition  du 
système  fournira  les  mêmes  équations 
dL  = 0,  dM  = 0,  dN=  0 
que  si  elle  ne  reufermait  point  d’inégalités. 
2.  Le^  équations  (3)  seront,  généralement,  insuffisantes  pour 
déterminer  le  mouvement  du  système;  on  trouvera  celles  qui 
manquent  par  le  principe  des  moments.  Mais  avant  d’en  par- 
ler, distinguons  deux  cas  qui  peuvent  avoir  lieu.  Ou  toutes  les 
premières  parties  des  équations  (3),  soit  chacune  en  particulier 
■ soit  les  unes  à l’aide  des  autres , seront  des  différentielles 
exactes,  ou  il  y en  aura  qui  ne  rempliront  pas  les  conditions 
d’intégrabilité,  quelles  combinaisons  qu’on  en  fasse.  Nous  ne 
considérons,  dans  ce  qui  va  suivre,  que  le  cas  le  plus  simple 
qui  est  le  premier.  Ce  qui  reviendra  à supposer  que  les  quan- 
tités 
L,  M,  N,.... 
ou  leurs  certaines  combinaisons,  en  même  nombre  que  ces 
quantités  elles-mêmes,  seront  fonctions  finies  du  temps  t et  des 
