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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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coordonnées  x,  y,  z, . . . Ainsi,  par  la  nature  du  système  et 
par  celle  des  obstacles  extérieurs,  il  y aura  des  fonctions,  que 
nous  continuerons  à désigner  par 
L,  M,  N,. . . . 
qui,  satisfaisant  aux  équations 
dL  = 0,  dM=  0,  dN=  0 
ne  varieront  pas  avec  le  temps.  Appelons  en  A,  B,  C, . . . les 
valeurs  relatives  à un  instant  donné  quelconque  de  l’intervalle 
du  temps  que  nous  considérons,  intervalle  pour  lequel  sub- 
sistent toutes  les  éqqations  (3)  et  aucune  autre.  Nous  aurons 
L = A,  31=  B,  N=  C,.  . . . 
Si  donc  nous  désignons  les  différences 
L-  A\  31-  B,  N — C,.... 
respectivement  par 
L,  M,  N,.... 
les  nouvelles  quantités  L,  M,  N, . . . satisferont  évidemment 
aux  équations 
dL  = 0,  dM=  0,  dN=  0 
et  à celles-ci 
(4)  L=  0,  M=  0,  N=  0,. . . 
Les  quantités  L,  31,  N,.  . étant  fonctions  des  variables  t , 
x,  y,  z, . . les  équations  précédentes  établiront  des  relations 
entre  ces  variables,  et  pourront  servir  pour  en  trouver  les  va- 
leurs de  quelques-unes  en  fonctions  des  autres  et  du  temps. 
Mais  pour  plus  de  commodité  et  de  symétrie,  il  convient  d’in- 
troduire d’autres  inconnues 
ël i Sz>  S3  5 • • • • > 
fonctions, convenablement  choisiesdans  chaque  cas  particulier, 
des  mêmes  variables  l , x,  y,  z, . . . et  en  nombre  suffisant  pour 
déterminer,  à l’aide  des  équations 
fi  [U  x,  y,  z,...) f 2 (t,  x,  y,  z,...)  — £2,  f3  (t,x,y,~,...)  £3v 
<p  ( t , x,  y,  z,...)=L,  $ (/,  x , y , z,...)=M,  ip  (i ! , x , y,  z,...=N,..., 
toutes  les  coordonnées  x , y,  z,.  . . en  fonctions  du  temps,  des 
êj,|2,  £3,  et  des  quantités  L,  31,  N,.  . . ou  plutôt,  à cause  que 
ces  dernières  quantités  sont  zéro,  en  fonctions  du  temps  et  des 
variables  |2,  |3, . . . Les  fonctions  dont  il  s’agit  seront  con- 
nues, en  sorte  qu’il  ne  restera  qu’à  déterminer  les  quantités 
êj,  |2,  |3,.  . Or,  la  considération  des  moments  fournira  les 
équations  nécessaires  pour  cette  détermination,  mais  nous  ne 
ferons  que  citer  ces  équations,  en  renvoyant  pour  leur  démon- 
stration aux  traités  de  dynàmique. 
Nous  nous  servirons  de  la  caractéristique  8 pour  représen- 
ter une  différentielle  ou  une  variation  relative  à des  change- 
ments 
8^,  d£2,  
infiniment  petits , mais,  du  reste,  quelconques  des  quantités 
lp  êz'  £3,.  • et  en  supposant  i invariable.  La  caractéristique 
8 se  rapportera  donc  à tout  ce  qui  dépend  d’une  manière 
quelconque  de  |2,  |3,.  . . On  la  distinguera  soigneusement 
de  la  caractéristique  A précédemment  employée,  cette  dernière 
est  relative  à un  changement  absolument  arbitraire,  possible 
ou  non,  de  la  position  du  système,  et  elle  suppose  le  temps 
variable , tandis  que  8 ne  se  rapporte  qu’aux  déplacements, 
satisfaisant  à la  définition  du  système,  et  de  plus 
8t  = 0. 
3.  Désignons  par  J la  demi-force  vive  du  système,  demi- 
force  que  l’on  appelle  aussi,  et  assez  souvent,  la  force  vive 
entière;  et  soit  8 U le  moment  virtuel  de  toutes  les  forces  mo- 
trices appliquées  au  système.  Exprimons  tant  la  quantité  T 
que  le  moment  8 U,  en  fonction  des  variables  t,  £a,  |3,.  . 
T et  8 U renfermeront,  avec  ces  variables,  la  première  les  dé- 
rivées 
S 1»  S 2’  s 3>*  • • • 
relatives  au  temps , et  la  dernière  les  variations 
8^,8^,  5£3,. . . 
mais  sous  la  forme  linéaire.  Nous  admettrons  qu’après  l’in- 
troduction des  variables  |2,  |3, . . . le  moment  8 TJ  devien- 
dra une  variation  exacte 
8U 
d’une  fonction  finie  des  £1?  |2,  |3,  . . et  qui  peut  aussi  conte- 
nir le  temps  t.  Cette  hypothèse  n’enibrasse  assurément  pas 
tous  les  cas  des  systèmes  et  des  forces  motrices,  mais  elle  est 
indispensable;  et  si  elle  ne  subsistait  pas,  la  théorie  que  nous 
allons  exposer  n’aurait  pas  lieu. 
Ainsi,  le  système  que  nous  considérons  et  les  forces  motrices 
qui  s’y  trouvent  appliquées,  doivent  être  limités  par  deux  con- 
ditions. 
1°.  Que  la  définition  du  système  conduise  aux  formules  in- 
tégrables. 
2°.  Que  le  moment  virtuel  des  forces  motrices,  exprimées 
en  quantités  que  la  définition  du  système  n’assujettit  à aucune 
liaison  mutuelle,  soit  une  variation  exacte  par  rapport  à ces 
quantités. 
Cela  posé,  nous  aurons  pour  le  mouvement  du  système  l’é- 
quation connue 
jdT 
ou  celle-ci 
dt 
= 8T-+-8U 
le  signe  E se  rapporte  au  numéro  i,  lequel  doit  avoir  autant 
de  valeurs  1,  2,  3,  4,. . . qu’il  y a de  variables 
En  faisant 
T-t-U=  V 
