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Bulletin  -physico-mathématique 
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et  remarquant  que  les  dérivées  ne  se  trouvent  pas  des  U , 
nous  aurons 
(5) 
dE~8l 
aÇj 
dt 
= 8V. 
Les  variations  8^'  des  dérivées  f ' n’entrent  dans  cette  équa- 
tion qu’en  apparence;  car  les  termes  qui  les  contiennent  sont 
identiquement  les  mêmes  dans  les  deux  parties.  Mais  il  en 
sera  autrement  par  rapport  aux  variations  à cause  de  leur 
indétermination  absolue,  la  formule  (3)  se  décomposera  et 
fournira  autant  d’équations 
,dF 
d?j  dF 
dt  d^i 
que  le  nombre  i a de  valeurs.  Ces  équations  sont  du  second 
ordre,  mais  rien  n’est  plus  facile  que  de  les  réduire  au  premier, 
en  doublant  leur  nombre.  Parmi  un  grand  nombre  de  réduc- 
tions de  cette  espèce,  celle  qui  paraît  la  plus  simple  et  qui  se 
présente  la  première,  consiste  à supposer 
dV 
dt'; 
Pi 
pour  toute  valeur  de  i,  la  lettre  pi  représentant  une  nouvelle 
variable,  nous  aurons  alors 
et  les  équations 
Pi 
dji 
dF' 
dti 
dF 
Wi 
sont  visiblement  du  premier  ordre. 
Par  la  nature  de  la  fonction  F,  ou  plutôt  par  celle  de  la 
fonction  T,  les  dérivées  partielles 
dV 
M' 
ne  renfermeront  les  quantités  %' v Ç'2,  Ç'3,  . . qu’à  la  première 
puissance,  ainsi  il  sera  facile  d’en  exprimer  les  valeurs  en  fonc- 
tion des  variables  f et  p,  puis  en  introduisant  ces  valeurs  dans 
les  dérivées 
dV 
Mi 
on  exprimera  aussi  les  P'  par  les  mêmes  variables  | et  p , en 
sorte  qu’on  aura  pour  toutes  les  valeurs  de  i 
W fi  (?•>  ^2'  ^>3’ ‘ ’ Pv  P'V  P 3'  - ") 
P 1 Pi  (L  fj,  ^3,  • • Pv  Vv  ••*),• 
Les  seconds  membres  de  ces  équations  sont  susceptibles  d’une 
forme  assez  remarquable  que  nous  allons  faire  connaître. 
La  quantité  F étant  fonction  du  second  degré  par  rapport 
aux  dérivées  § , distinguons  y les  termes  à deux  dimensions, 
à une  seule  et  à la  dimension  zéro,  et,  en  conséquence,  sup- 
posons 
F = Y"0  -4-  Ft  -+-  F2, 
où  F0  ne  renferme  point  les  dérivées  | \\  et  V2  en  sont  fonc- 
tions homogènes  d’une  seule  et  de  deux  dimensions.  Nous 
aurons 
dV  dF.  dF.. 
Wi  = pi==M+Wi 
d’où  en  multipliant  par  prenant  la  somme  E et  ayant  égard 
à la  nature  de  F,  et  V2 
savoir 
EPifi=Vl- h2F2 
£Pi?‘i=  U-+-  V2  - F0 
donc,  en  différentiant  avec  la  caractérique  <5  et  remplaçant 
dF 
dît  parpi 
c’est-à-dire 
dF 
Mi 
M) 
ÔV2  - 8V0 
ÔV2-ÔV0 
ou,  en  faisant  pour  abréger 
(6) 
(7) 
£ ïidpi 
v2-v0  = o 
ydF 
LMiHi 
<50 
En  considérant  0 comme  fonction  des  £ et  des  p , et  compa- 
rant les  coefficients  des  différentielles  arbitraires  <5£  et  8p,  il 
viendra 
u d 0 
^=7p< 
dF 
d & 
3fl-'-dTi-0’ 
dO 
dP;'  ‘ ' _ dJi 
dF 
(8) 
c’est-à-dire 
(9) 
telles  sont  les  valeurs  de  et  P' , ci-dessus  mentionnées. 
4.  Remplaçons  dans  l’équation  (5)  la  dérivée  partielle 
par  sa  valeur  Pi,  puis  multiplions  la  par  dt  et  intégrons,  à 
partir  d’un  instant  à volonté,  par  exemple,  à partir  de  < = 0, 
nous  aurons 
E[_pMi-{Pi8li)0\=8  fVdt 
Ô 
ou  bien,  en  faisant 
(10) 
= 5 
/™= 
(11)  E [pi8Ç;  — ( Pi8li)0 ] = 8 S 
{pi^ti) 0 est  la  valeur  de  p,<5£;  pour  t = 0. 
En  considérant  S comme  fonction  de  § et  de  |0,  la  dernière 
équation  se  décomposera  en  celles-ci 
' — d;,  • — <*,{,■>„ 
