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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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qui  seront  les  intégrales  des  équations  différentielles  du  mou- 
vement. Mais  sans  nous  y arrêter,  différentions  par  rapport  à 
t l’expression  intégrale  de  S,  en  y faisant  varier  tout  ce  qui 
varie  avec  le  temps,  nous  aurons 
(12) 
ds 
dt 
dS 
dft 
dS 
k 
k étant  susceptible  des  mêmes  valeurs  que  i.  Remplaçons 
par  pk  et  ayant  égard  à ce  que 
E Pkt'k  = 2 F2  H-  Fj 
V=r^vl  + v0 
v3- 
Fo  = 0 
nous  aurons 
(13) 
dS 
~dl 
0 = 0 
Si  l’on  remplace  les  quantités  P qui  se  trouvent  dans  0 par 
dS 
les  valeurs  correspondantes  - l’équation  (13)  sera  à diffé- 
(X  ç 
rences  partielles , les  variables  indépendentes  en  seront  i,  , 
Ç2,  |3, . . . et  elle  ne  contiendra  que  les  dérivées  partielles 
dS  dS  dS  dS 
dt  ’ d£x  ’ </|2’  d£,%  ’ 
sans  la  variable  principale  S elle-même.  Nous  en  conclurons 
que , si  une  fonction  y de  t,  , £2 , £3, . . . vérifie  cette  équa- 
tion, 
y -t-  const. 
la  vérifiera  aussi,  et,  par  conséquent,  si,  satisfaisant  à l’équa- 
tion (13),  y renfermait  autant  de  constantes  arbitraires  qu’il  y 
a de  variables 
S = cp  H-  const. 
serait  l’intégrale  de  la  solution  complète  de  l’équation  (13). 
Or,  si  l’on  connaissait  une  semblable  fonction  y,  c’est-à-dire 
une  fonction  qui  contiendrait  autant  de  constantes  arbitraires 
^1  ’ ^2’  ^3’  ' * 
qu’il  y a de  variables  |15  f2,  |3,. . . et  qui  prise  pour  S dans 
l’équation  (13)  satisferait  à cette  équation,  on  trouverait  sur 
le  champ  les  intégrales  des  équations  différentielles 
(9) 
,t  dO  _/  de 
t‘=dPrPi=1dït 
de  la  dynamique.  Les  intégrales  dont  il  s’agit  seront 
d p 
(14) 
Pi  = 
dtr 
ßi  étant  une  nouvelle  constante  arbitraire  et  i le  même  numéro 
variable  que  précédemment. 
Pour  démontrer  cette  assertion,  nous  remarquerons  d’abord 
que  les  formules  précédentes  renferment  le  nombre  requis 
des  constantes  arbitraires,  savoir  autant  qu’il  y a d’équations 
différentielles;  il  ne  reste  donc  qu’à  s’assurer  que  ces  mêmes 
formules  satisfont  aux  équations  différentielles  (9). 
En  différentiant  relativement  au  temps  les  intégrales 
nous  trouvons 
Pi 
d^p 
dt  d^i 
p — d*<P 
dt  da: 
r d2S  , 
dhd^k 
Y*  di  (p  <.  f 
l^k< 
ou  bien,  en  remplaçant  les  dérivées  P t et  i ; par  leurs  valeurs 
dS  de 
d%i  et  dPi 
fournies  par  les  équations  différentielles  (9), 
de  d 2 cp  d2<p  de 
0 
d%i  dt  d£;  ~t~  dèfi  d};  d Pp 
0 = 
di  <p 
dt  da: 
d2  <P 
dhk  d ai 
de 
dP~h 
La  différentiation  ayant  fait  disparaître  les  constantes  arbi- 
traires ß , les  dernières  équations  ne  renferment  que  les  va- 
riables |2,  |3,. . . et  les  constantes  arbi- 
traires «j,  a2,  oc3,...  Ces  équations  doivent  devenir  identiques, 
si  1 on  en  élimine  la  troisième  partie  des  quantités  qu  elles 
renferment,  à l’aide  des  intégrations  (14).  Or,  les  intégrales 
dont  nous  parlons  fournissent  immédiatement  les  valeurs  de 
P > s'  donc  on  remplace  ces  valeurs  respectivement  par  les 
dérivées  , on  doit  avoir  identiquement 
de  d2<p  ^ d<f p de 
%'1-' 
0 = 
*2' 
dt  d % i 
dh  d*i  dVk 
0 = 
d2  p 
j,  d^p  de 
dl;  da ■ dp ^ 
0 = 0. 
dt  da2 
c est  de  quoi  il  est  facile  de  s’assurer. 
En  effet,  la  fonction  y étant  une  solution  de  l’équation  (13), 
nous  aurons  identiquement 
dp 
Tt 
Dans  la  fonction  0 de  cette  équation,  les  dérivées  ^ rem- 
dç 
T n 
placent  les  dérivées  jz  contenues  dans  0 de  l’équation  (13)} 
or,  les  dernières  dérivées  remplacent  elles-mêmes  les  quanti- 
tés p qui  entrent  dans  0 marquées  du  no.  (6).  Ainsi  0 de  l’é- 
quation 
dp 
dt 
vient  de  la  substitution  des  d~  au  lieu  des  P dans  0 contenus 
«ç 
dans  les  équations  différentielles  (9).  Cependant,  nous  sous- 
entendrons  seulement  la  substitution  dont  il  s’agit,  pour  ne 
pas  nous  servir,  en  différentiant,  de  la  notation  incommode 
de 
~d?î 
dê 
o 
0 
