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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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Werth  aus  3.,  entwickelt  nach  e2  mit  Vernachlässigung  der 
zweiten  und  höheren  Potenzen  dieser  Grösse,  schafft  mittels 
der  Gleichungen 
cos  u sin  fl  = sin  a sin  <r, 
cos  u cos  u cos  fl  = cos  a — sin  u sin  u 
und  der  obigen  unter  1 . fl  und  u hinweg,  so  dass  nur  noch 
u,  a und  a Zurückbleiben,  und  geht  von  den  Tangenten  auf 
die  Winkel  über;  so  kommt 
a = i — 5. 
-|-e2cosM'sina  j ^1 — ^ — ^cosw'cosa — ^2tg^- — ff^sinw'  j 
oder  nach  a entwickelt,  wobei  das  erste  Glied  in  der  Anwen- 
dung schon  allein  ausreicht  : 
1 , 
a — i e2o2  cos  u 2 sin  2a  — .... 
12 
Obgleich  hiernach  die  Verbesserung  des  beobachteten  Win- 
kels i in  wirklich  vorkommenden  Fällen  nur  die  Hunderttel 
der  Secunde  treffen  kann,  so  würde  doch  eine  störende  Dun- 
kelheit in  den  Grundlagen  der  Rechnung  obwalten,  wenn 
inan  ihre  Entwickelung  überginge.  Diese  wird  aber  beträcht- 
lich abgekürzt,  wenn  man  sie  allgemein  für  jede  krumme 
Fläche  vollzieht.  Bringt  man  nämlich  die  Gleichung  der  Flä- 
che  oder  vielmehr  ihres  zunächst  um  einen  Punct  A liegenden 
Theiles  auf  die  bekannte  Reihenform  : 
~2 
ay2 
und  benutzt  die  Differentialgleichungen 
d2x 
d2  z 
ds 
ds- 
d2z 
ds2 
0, 
wo  v = —,  q = — ; so  ergeben  sich  für  eine  von  A ausgehen- 
1 dx  Hdy,h  ° 
de  kürzeste  Linie,  deren  erstes  Element  mit  x den  Winkel  cp 
bildet  und  deren  Bogen  s ist,  Reihen  nach  Potenzen  von  s, 
von  welchen  ich  hier  nur  die  ersten  Glieder  hersetze,  näm- 
lich : 
s3  . . s3 
x = s cos  cp  — aq  cos  cp  — ...  y = s sin  cp  — ßq  sin  cp  — ... 
s2 
* = ?2— i 
q = a cos  cp2  H-  ß sin  cp2  ist  die  Krümmung  der  Fläche  in 
der  Richtung  des  ersten  Elementes  der  kürzesten  Linie.  Be- 
zieht man  nun  x y z und  s auf  einen  bestimmten  Punct  B die- 
ser Linie,  und  setzt  y — x tg  i,  so  kommt  ; 
c2 
tg  i = tg  cp  , 
1 ß? 
«■ 
oder  i — cp-\-[a  — ß)  q sin  cp  cos  cp 
Allgemein  hängt  daher  die  Abweichung  der  Anfangsrichtung 
eines  kleinen  Bogens  der  kürzesten  Linie  von  der  nach  sei- 
nem Endpunkte  gerichteten  durch  den  Anfangspunkt  gelegten 
Verticalebene  hauptsächlich  ab  von  dem  Unterschiede  der 
grössten  und  kleinsten  Krümmung  der  Fläche  im  Anfänge  der 
kürzesten  Linie. 
Auf  dem  Umdrehungs-Ellipsoide  hat  man  für  den  Punkt,  wo 
x = a cos  u,  y =.  a V 1 — e 2 sin  u,  z = 0,  die  Krümmung 
im  Meridian 
a = 
Y 1 — e* 
und  im  Breitenkreise 
ß = 
a (i  — e2  cos  k2)2 
Y 1 — e2 
2xi  ’ 
a (1  — e2  cos  M')  i 
mithin 
a — ß 
Y 1 — e2  . e2  cos  u2 
a (t  — e-  cos  n2)\ 
oder,  wenn  man  sich  mit  der  ersten  Potenz  von  e2  begnügt  : 
1 9 9 
cp  = i — — e2  cos  «2  sin  2 cp  -x  ...  . 
T 12  T a 2 
wie  vorhin,  da  cp  dem  obigen  a entspricht  und  näherungsweise 
aa  = s ist. 
Im  Allgemeinen  dürfte  es  für  die  Darstellung  der  Geodäsie 
erspriesslich  sein,  die  Rechnung  wenigstens  in  ihren  Grund- 
lagen von  jeder  bestimmten  Voraussetzung  über  die  Gestalt 
der  Erde  frei  zu  halten.  Diese  Absicht,  welche  mich  auch  im 
Vorstehenden  leitete,  veranlasst  mich  noch  zu  den  folgenden 
Entwickelungen,  an  welche  sich  einige  in  rein  geometrischer 
Hinsicht  vielleicht  bemerkenswerthe  Folgerungen  anknüpfen. 
Dabei  werde  ich  mich  der  Buchstaben  p q r s t stets  in  der 
Bedeutung  bedienen,  dass  : 
dz  - pdx  - 1 qdy,  dp  — rdx  \ sdy,  dq  — sdx  -t-  tdy. 
Dreht  sich  ein  Körper  von  beliebiger  Gestalt  um  eine  in 
ihm  und  im  Raume  feste  Axe,  welche  die  der  z sei,  so  ist  be- 
kanntlich q — kp  die  Gleichung  einer  Meridiancurve  auf  sei- 
/^2 
ner  Oberfläche.  Z.  B.  für  -+-  -f-  ~i  = 1 ist  y = — ^x 
diese  Gleichung.  Dieselbe  umfasst  nämlich  alle  Puncte  der 
Fläche,  deren  Normalen  der  Meridian-Ebene  y = kx  parallel 
sind,  oder  deren  Zenithpuncte  an  der  Himmelskugel  in  einer- 
lei Meridian  liegen.  Für  ein  im  Puncte  xyz  anfangendes  Ele- 
ment der  Meridiancurve  hat  man  daher  dq  = kdp  oder  pdq  = 
qdp,  mithin  : 
dx  : dy  : dz  = A : B : C, 
wo  A =■ pt  — qs,  B — qr  — ps,  C = Ap  -t-  Bq. 
Bezeichnet  nun  de r das  Bogenelement  einer  kürzesten  Linie 
im  Puncte  xyz , und  dx,  dy,  dz  seine  Projectionen  auf  die 
Axen  ; so  erhält  man  das  Azimuth  a desselben  aus  der  Glei- 
chung : 
Adx  -+-  Bdy  -n-  Cdz 
cos  a 
Y A2-i-B2-t-C2 . da 
und  die  Polhöhe  P aus  : 
1 
sin  P = 2 — = oder  cotg  P = Vp2  q1. 
Y l -+-P  -+-ï 
Sind  daher  die  Coordinaten  einer  kürzesten  Linie  nach  Po- 
tenzen ihres  Bogens  a entwickelt,  deren  Coefficienten  von 
dem  Anfangspuncte  der  Linie  und  der  Richtung  ihres  ersten 
