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Bulletin  physic o -mathématique 
Elementes  abhängen  werden  ; so  lassen  sich  mittels  vorste- 
hender Ausdrücke  auch  Azimuth  und  Polhühe  in  Reihen  nach 
Potenzen  von  a darstellen. 
Für  die  Curven  gleicher  Polhöhe  ist  nach  Obigem  : 
p2  q2  — Const.,  oder  pdp  -+-  qdq  = 0 ; daher  : 
dx  : dy  ■ dz  — ä'  . B'  ■■  C\ 
wo  A =ps  ■+-  qt,  B'  = — (pr  qs),  C = A p -+-  ß'q. 
Nur  auf  den  abwickelbaren  Flächen  findet  die  Unterschei- 
dung der  Curven  gleicher  Zeit — wie  man  die  Meridiancurven 
auch  nennen  könnte  — und  der  Curven  gleicher  Polhöhe 
nicht  Statt,  da  auf  diesen,  wegen  p — funct.  q,  beide  Arten 
von  Curven  in  den  geraden  Linien  der  Fläche  zusammen- 
fallen, oder  in  leicht  erkennbaren  besonderen  Fällen  eine  von 
ihnen  unbestimmt  wird.  Ohne  hierbei  zu  verweilen,  schliesse 
ich  die  abwickelbaren  Flächen  sammt  der  Ebene  von  der 
folgenden  Untersuchung  aus. 
Im  Allgemeinen  ist  in  BetretT  dieser  beiden  Arten  von  Cur- 
ven zu  erinnern,  dass  sie  stets  in  Beziehung  auf  eine  Axe  ge- 
dacht werden  müssen,  welche  die  der  z sein  soll  ; dass  aber 
parallele  Axen  völlig  gleichgeltend  sind.  Die  zu  einer  Axe  ge- 
hörigen Meridiane  durchkreuzen  sich  da,  wo  die  Normale  der 
Axe  parallel  oder  die  Polhöhe  ein  rechter  Winkel  ist. 
Die  obigen  Werthe  von  A B Ar  B'  geben  : 
AA'  h BB'  = (r  -+- 1)  | (p2  — q~)  s -t-  pq  [l  — r)  } = (r-H<)  C' 
so  wie  auch  : ^42?'  — A B = (p2  q2)  ( s 2 — rl). 
Sucht  man  nun  den  Winkel  A,  unter  welchem  auf  einer  be- 
liebigen Fläche  die  Meridiancurven  von  den  Curven  gleicher 
Polhöbe  geschnitten  werden,  so  kommt  ; 
, AA'-t-BB’-t-CC' 
± cos  A = — 
VA2  +52+C2.fi2  + i'2- 1-  C'2 
und  es  ist  : AA'  -+-  BB'  -+-  CC'  = (r  -+-  / h-  C)  C\ 
also  cos  A = 0 für  r -t-  l -+-  C = 0 und  für  C = 0. 
Es  gibt  also  zwei  Arten  von  Flächen,  auf  welchen  die  Me- 
ridiancurven die  Curven  gleicher  Polhöhe  überall  senkrecht 
schneiden.  Betrachten  wir  sie  einzeln. 
Nach  Einsetzung  des  Werthes  von  C verwandelt  sich  die 
Gleichung  r -+- 1 -+-  C — 0 in 
(î  +p2)<  + (i  + <72) r — -pqs  — o. 
Diese  Gleichung  ist  längst  bekannt;  sie  ist  die  der  kleinsten 
Fläche  innerhalb  eines  gegebenen  Umfanges,  und  wir  sind 
daher  zu  folgender  Eigenschaft  dieser  Fläche  gelangt  : 
Wird  eine  solche  Fläche  auf  eine  beliebige  Axe  als  auf 
ihre  Drehungsaxe  bezogen,  so  schneiden  die  Meridiancurven 
die  Curven  gleicher  Polhöhe  überall  rechtwinklig. 
Die  Axe,  auf  welche  die  Fläche  bezogen  wird,  kann  jede 
beliebige  sein,  da  die  Form  der  obigen  Differentialgleichung 
der  Fläche  von  der  Richtung  der  rechtwinkligen  Coordina- 
ten  unabhängig  ist. 
Werden  in  einer  Ebene  mehrere  Axen  angenommen,  so 
gibt  es  eine  Meridiancurve  M,  welche  allen  diesen  Axen  zu- 
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gleich  angehört,  nämlich  diejenige,  in  deren  Puncten  die  Nor- 
malen jener  Ebene  parallel  sind.  Zieht  man  nun  durch  einen 
Punct  von  M die  diesen  Axen  entsprechenden  Curven  glei- 
cher Polhöhe,  so  folgt,  dass  diese  einander  in  jenem  Puncle 
sämmtlich  berühren,  da  sie  alle  die  Curve  M senkrecht 
schneiden. 
Die  zweite  Art  von  Flächen,  auf  welchen  überall  cos  A = 0, 
wird  ausgedrückt  durch  die  Gleichung  : 
C'  = 0 oder  pq  ( r — t)=  (p2  — q2)  s. 
Das  Integral  dieser  Gleichung  folgt  durch  Wegschaffung 
von  e aus  ; 
fz  = x cos  £ -i-  y sin  £ h-  xjj£ 
0 = y cos  £ — x sin  e -+-  i//f 
wo  f und  xj)  willkürliche  Functionen  sind.  Die  geometrische 
Deutung  dieser  Formeln  ist  folgende  ; 
Legt  man  an  einen  Cylinder,  dessen  Seiten  der  Axe  z pa- 
rallel sind,  eine  Berührungs-Ebene,  zeichnet  auf  dieser  eine 
beliebige  krumme  Linie  C,  und  wickelt  hierauf  die  Ebene 
vom  Cylinder  ab  ; so  beschreibt  die  Curve  C die  verlangte 
Fläche.  Auf  dieser  sind  d e Queerschnitte  von  gleichem  z die 
Curven  gleicher  Polhöbe,  und  die  darauf  senkrechten  Curven 
von  constantem  f,  welche  nichts  anderes  sind  als  die  Curve  C 
in  ihren  verschiedenen  Lagen,  stellen  die  Meridiane  dar;  bei- 
derlei Curven  sind  also  eben  ; auch  sind  sie  die  Krümmungs- 
linien der  Fläche,  deren  Verwandtschaft  mit  den  Umdrehungs- 
ffächen  nicht  zu  verkennen  ist,  in  welche  sie  für  xp£  = const, 
übergeht. 
Wenn  die  willkürliche  Linie  C eine  gerade  ist,  so  wird  die 
Fläche  abwickelbar,  und  die  Polhöhe  in  allen  ihren  Puncten 
dieselbe. 
Eine  andere  Art  von  Meridiancurven  als  die  bisher  beirach-  j 
teten  geben,  auf  einer  beliebigen  Fläche,  diejenigen  Curven, 
welche  die  auf  der  Drehungsaxe  z senkrechten  Queerschnitte 
überall  unter  rechten  Winkeln  schneiden.  Die  Differential- 
gleichung dieser  Curven  ist  allgemein  : qdx  = pdy.  Für 
= 1 folgt  hieraus = also  yhL  — k.x^. 
Sucht  man  die  Flächen,  auf  welchen  diese  zweiten  (geodäti- 
schen) Meridiancurven  die  Curven  gleicher  Polhöhe  überall 
senkrecht  schneiden,  so  folgt,  dass  letztere  mit  den  Quer- 
schnitten von  gleichem  z zusammenfallen,  also  der  Gleichung 
p2  -t-  q2  = funct.  s unterworfen  sein  müssen.  Diese  Gleichung  i 
ist  aber  ein  erstes  Integral  der  obigen  Differentialgleichung 
C = 0,  und  in  der  That  fallen  auch  auf  der  oben  betrachte-  \ 
ten  zweiten  Art  von  Flächen  einerseits  die  Curven  gleicher 
Polhöhe  mit  denen  von  constanten  z,  so  wie  andererseits  die 
astronomischen  Meridiancurven  mit  den  geodätischen  zusam- 
men. 
Doi’pat  den  30sten  Januar  1849. 
