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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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présentent,  en  les  corrigeant  s'il  y a lieu,  une  huitième  donnée 
distincte.  Et  pour  que  la  preuve  puisse  être  mise  hors  de 
toute  contestation,  on  avouera  qu’une  neuvième  donnée  sa- 
tisfaite , ne  serait  pas  superflue.  Or,  je  le  répète,  c’est  tout  au 
plus,  si  actuellement  l’ensemble  des  observations  d’une  même 
étoile  représente  huit  données  réellement  distinctes.  Je  crois 
donc  avoir  raison  de  dire  que  la  preuve  commence  seulement 
maintenant. 
Je  vous  aurais  fait  connaître  plus  tôt  la  méthode  pour  la 
détermination  des  orbites  des  étoiles  doubles,  que  j’ai  déposée 
à l’Académie  (de  Paris)  le  7 décembre  184-7,  si  j’avais  cru 
quelle  pût  vous  intéresser.  Aujourd'hui  je  m’empresse,  selon 
le  désir  que  vous  m’en  exprimez,  de  vous  transmettre  les 
formules  sur  lesquelles  elle  repose. 
Je  pense  que  cette  méthode  donnerait  du  premier  coup  les 
éléments  très  approchés,  si  non  les  plus  probables,  si  l’on 
disposait  d’observations  complètes  embrassant  toute  l’orbite. 
Comme  il  n’en  est  pas  ainsi  généralement,  je  ne  l’emploie  que 
pour  obtenir  une  première  approximation  que  je  corrige  en- 
suite. 
Admettons  que  l’on  possède  un  nombre  quelconque  d’ob- 
servations, supérieur  au  nombre  théoriquement  nécessaire;  je 
dirai  en  son  lieu,  comment  il  faudrait  s’y  prendre  pour  ré- 
soudre le  problème  théorique  de  la  détermination  des  élé- 
ments au  moyen  de  \ observations  complètes. 
La  méthode  exige  que  l’on  emploie  les  angles  de  position 
et  les  distances.  Les  premiers  sont  supposés  corrigés  de  l’effet 
de  la  précéssion.  Si  l’on  n’a  pas  de  distances  observées,  on 
pourra  déduire  du  mouvement  angulaire,  par  interpolation, 
des  nombres  proportionnels  à ces  distances. 
Désignant  les  angles  de  position  par  a, 
les  distances par  q,1) 
. 1 /constante 
on  aurait  p = V — 
s da 
dt 
une  seule  distance  observée  donnerait  à la  rigueur  la  valeur 
absolue  de  la  constante. 
Soient  x et  y les  coordonnées  rectangulaires  de  l’ellipse  pro- 
jetée ou  apparente,  on  aura 
x = q cos  a , y = Q sin  a. 
Désignons  par  F=  o 
l’équation  de  l’ellipse  apparente  qui  sera  d’ailleurs 
ay 2 -4-  bxy  -t-  ex2  -+-  dy  h-  ex  — 1=0. 
F désignera  le  premier  membre  de  celte  équation.  La  sub- 
stitution de  cinq  systèmes  de  valeurs  x et  y donnera  le  mo- 
ll L’application  de  ces  formules  exige  que  les  mesures  des  distances 
soient  du  même  observateur  ou  ramenées  à un  même  observateur.  Je 
n’ai  fait  usage  que  de  celles  qui  ont  été  données  par  MM.  Struve. 
yen  de  déterminer  a,  b,  c,  d , e.  Pour  en  employer  un  plus 
grand  nombre,  il  semble  qu’il  suffise  ici  d’appliquer  la  méthode 
des  moindres  carrés;  mais  j’avoue  que  la  considération  du 
minimum  de  la  somme  EF2  ne  me  satisfait  pas.  Je  la  rem- 
place par  la  condition  que  la  somme  des  carrés  des  distances 
normales  entre  les  points  donnés  et  la  courbe  cherchée,  soit 
un  minimum.  Lorsque  la  fonction  Fest  quelconque,  cette  con- 
dition conduit  à autant  d’équations  de  la  forme 
FdI 
_ da 
EdF2  dF2  ~ 0 
dx2  dy 2 
qu’il  y a de  paramètres  distincts  a,  b,  c . , dans  la  fonction 
F.  Soit  ici  p'  le  poids  d’une  observation;  cette  formule  con- 
duit aux  équations 
p' y2  F 
dF 2 
dx2 
dF 2 
dy 2 
A V *' “W  A.  T P'X*F  _A 
• Jüi  jrî  " jrf 
dF- 
dx  2 
dF 2 
dy2 
dF2 
dx 2 
dF2 
dy2 
p'yF 
dF2 
dx2 
dF 2 
dy2- 
— 0 ; E 
p'  xF 
dF 2 
dx2 
dF2 
dy2 
= 0; 
j’ai  quelquefois  pris  pour  valeur  de  p le  produit  du  nombre 
des  mesures  multiplié  par  le  millième  du  grossissement. 
Quant  au  dénominateur  4-?  -+-  , il  suffit  d’en  avoir  une 
dx  * dy* 
valeur  approchée,  comme  de  p . Or  voici  une  construction 
très  simple  qui  donne  cette  valeur,  ou  mieux  une  valeur  pro- 
portionnelle. 
L' 
Ayant  construit  à vue  une  courbe  elliptique  qui  passe  le 
plus  près  possible  des  points  observés,  je  trace  les  deux  dia- 
mètres conjugués  D et  Z) 'des  axes  y et  x. 
Soit  m le  point  pour  lequel  je  veux  avoir  la  valeur 
dF2  dF2  , , 
— 2 -t-  ~ — g ; Je  mené  les  droites  md,  md,  parallèles  à ox  et  oy, 
doc  ay 
