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Bulletin  physico- mathématique 
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et  je  joins  dd' 
tangente  en  m). 
(Notons  que  cette  droite  est  parallèle  à la 
On  a alors 
dF 2 
dx  2 
dy‘ 
2 
Le  facteur  b2  se  trouvant  commun  à tous  les  dénominateurs 
dans  les  sommes  on  peut  en  faire  abstraction  et^substiluer 
à chacun  des  dénominateurs  le  carré  de  la  ligne  dd' . 
Pour  aller  plus  loin  maintenant,  il  faut  substituer  aux  points 
observés  qui  ne  se  trouvent  pas  généralement  sur  la  courbe 
Fz=  0,  des  points  situés  sur  cette  courbe.  Cela  peut  se  faire 
de  deux  manières. 
1°  En  les  remplaçant  par  les  pieds  des  normales  menées 
des  points  donnés  à la  courbe.  Désignant  spécialement  par 
x et  y les  coordonnées  observées  et  par  x et  y celles  de  la 
courbe,  on  a 
/ 
x = x 
y = y' 
F dF 
dF * dF2  dx 
dx 2 dy  2 
F dF 
dF 2 dF 2 dy 
dx 2 dy  2 
2°  En  conservant  les  angles  de  position  observés,  comme 
étant  un  peu  plus  exacts  que  les  distances,  et  tirant  celles-ci 
de  l’équation  de  la  courbe  transformée,  en  remplaçant  x et  y 
par  q cos  a et  p sin  a:  on  arrive  au  même  résultat  plus  sim- 
plement au  moyen  des  formules  suivantes 
/ 
X = X 
dF 
dF 
x — — i-  y — 
dx  J dy 
f 
x 
y — 
dF 
dF 
x — — t-  y — 
dx  dy 
très.  On  devait  en  effet  rencontrer  une  équation  de  condition 
entre  les  données,  puisque  celles-ci  sont  au  nombre  de  8, 
alors  que  7 suffisent  théoriquement.  La  surface  de  l’ellipse 
divisée  par  la  constante  des  aires,  donnerait  ensuite  la  durée 
de  la  révolution,  et  le  reste  s’achèverait  comme  ci-dessous. 
Reprenons  le  problème  pratique. 
Les  observations  complètes  n'embrassant  pas  actuellement 
toute  la  circonférence  de  V ellipse,  ne  suffiront  généralement 
pas  pour  déterminer  les  cinq  inconnues  a,  b,  c,  d,  e.  Il  fau- 
drait même  se  garder  actuellement  d’accepter  comme  racine 
du  système  des  équations  proposées  celle  qui  résulte  de  l'é- 
quation finale,  attendu  que  les  coefficients  des  deux  dernières 
équations  à 2 inconnues  seront  généralement  proportionnels. 
Le  problème  sera  presque  complètement  indéterminé.  Alors  il 
faudra  se  contenter  d’exprimer  quatre  des  inconnues  en  fonc- 
tions de  la  cinquième,  les  anciennes  observations  serviront  à 
fixer  la  valeur  de  celle-ci,  par  la  condition  des  aires  proportion- 
nelles au  temps.  Notons  en  passant,  que  la  variation  de  la 
cinquième  inconnue  n’aura  pas  pour  résultat  d’altérer  sensi- 
blement l’étendue  du  secteur  limité  aux  observations  mo- 
dernes qui  se  suivent  presque  sans  interruption;  cela  se  voit 
à priori.  On  en  pourra  donc  déduire  une  valeur  de  la  con- 
stante des  aires  à peu  près  indépendante  de  la  valeur  du  coef- 
ficient inconnu  ou  indéterminé  entre  certaines  limites.  Or 
une  ancienne  obsei’vation  suffira  généralement.  Comme  l’angle 
de  position  seul  est  donné,  on  tirera  de  l'équation  F—  0,  en 
attribuant  »me  valeur  arbitraire  au  coefficient  inconnu,  la  va- 
leur de  la  distance,  et  par  suite  les  coordonnées  relatives  à 
l’ancienne  observation.  Il  sera  facile  d’en  déduire  le  secteur 
limité  par  les  rayons  vecteurs  correspondants  à cette  obser- 
vation et  à la  plus  ancienne  des  observations  modernes  par 
exemple,  ou  en  déduire,  en  divisant  par  le  temps  écoulé  entre 
ces  observations,  la  valeur  de  la  constante  des  aires;  et  il 
faudra  faire  varier  l’inconnue,  jusqu’à  ce  que  cette  constante 
coïncide  avec  celle  que  fournissent  les  observations  modernes. 
Disons  ici  quelques  mots  du  problème  théorique.  Étant 
donnés  seulement  quatre  systèmes  de  coordonnées  x et  y,  on 
ne  pourra  pas  déterminer  les  cinq  constantes  a,  b,  c,  d,  e;  mais 
on  obtiendra  seulement  la  valeur  de  quatre  d’entr’ elles  en 
fonction  de  la  cinquième.  Voici  maintenant  comment  on  dé- 
terminerait cette  cinquième  constante,  par  des  tâtonnements. 
Au  moyen  d’une  valeur  arbitraire  de  cette  quantité,  on  cal- 
culerait, par  les  formules  qui  vont  être  données  ci-dessous,  les 
trois  secteurs  compris  entre  les  quatre  rayons  vecteurs  pro- 
jetés; et  les  quotients  de  ces  secteurs  divisés  par  les  temps 
correspondants,  donneraient  trois  valeurs  de  la  constante  des 
aires  généralement  différentes.  On  ferait  varier  1 indéterminée 
ci-dessus,  jusqu’à  ce  que  les  valeurs  de  la  constante  des  aires 
déduites  de  deux  seulement  des  secteurs,  deviennent  égales. 
La  valeur  de  l’indéterminée  satisfaisant  à cette  condition  se- 
rait la  valeur  cherchée,  et  l’on  aurait  en  même  temps  celle  de 
la  constante  des  aires.  Mais  les  données  devront  en  outre  sa- 
tisfaire à la  condition  que  le  troisième  secteur  attribue  à la 
constante  des  aires  la  valeur  commune  déduite  des  deux  au- 
Voici  les  formules  que  j’emploie  pour  calculer  les  secteurs 
elliptiques. 
Soient  X,  Y les  coordonnées  du  centre  de  l’ellipse  projetée, 
S la  surface  de  cette  ellipse,  tc  le  nombre  3.1415926, 
posant  p2  = \ ac  — b2 
j’ai  d’abord 
X = \ bd  — 2ae)  ; Y = ^ (be  — 2 cd)  ; 
V1  ; e 
— 5 = («e2  — bed -f-  cd 2 -t-p2). 
In  p3  ' 11 
Soient  xa  et  ya  les  coordonnées  correspondant  au  temps  t0 
Xi  et  y -, U 
S;  faire  du  secteur  décrit  pendant  le  temps  ti  — to 
I supposée  positive,  lorsque  le  rayon  vecteur  marche  dans  Ij 
sens  de  x à y ou  direct;  je  fais 
x"  = Xi  — x0,  yn  = y i— y o et  j’ai  ensuite 
