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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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<s.-= 
[Xy"  - Yx") 
angle  1 tang  ==  — 
2 jt  b { b S 
ifr0y"-yo*")-ï(&'-  Yx" 
» / a r/„  b n n c ft^\ 
— Ur-  y y x -i-k-  x ~ ) 
it  V2 P J 2])  J 2 p J 
Pour  appliquer  celte  formule,  on  doit  prendre  l’angle  donné 
par  sa  tangente,  de  manière  que  son  sinus  et  son  cosinus  aient 
respectivement  pour  signes,  ceux  du  numérateur  et  du  déno- 
minateur de  la  tangente.  Dans  le  cas  où  it  -r-  ta  est  positif,  et 
dans  l’hypothèse  du  mouvement  direct,  si  S/  se  trouvait  né- 
gatif, il  faudrait  ajouter  2tv  à l’angle  obtenu,  ou  S à S,,  de 
manière  que  cette  dernière  quantité  soit  positive.  Il  faudrait, 
au  contraire,  retrancher,  dans  le  cas  du  mouvement  rétrograde 
si  elle  était  positive.  On  doit,  en  un  mot,  opérer  de  manière 
que  Si  ait  le  signe  de  tj  — ta  dans  le  mouvement  direct,  et  le 
signe  contraire  dans  le  mouvement  rétrograde. 
Les  quantités  a,  b , c,  d,  e étant  déterminées  par  les  condi- 
tions précédentes,  j’emploie  les  formules  suivantes  pour  cal- 
culer les  éléments  indépendants  du  temps. 
Soient  fila  longitude  du  noeud  ascendant  comptée  de  l’axe 
des  x, 
/l’inclinaison  de  l’orbite  réelle  sur  le  plan  de  l’or- 
bite apparente, 
E = sin  7],  l’excentricitié  de  l’orbite  réelle, 
IT  le  demi  paramètre, 
A le  demi  grand’axe, 
(5  — 12  la  distance  du  périhélie  au  noeud, 
ou  a la  longitude  du  périhélie  dans  l’orbite; 
2 B étant  une  auxiliaire  qu’on  pourra  toujours  supposer  com- 
prise entre  h-  90°  et  — 90°. 
tang  2 B = — 
tang  g =z  tang  (ip  — fl)  cos  I ; g = [a  — fl) 
[prendre  g de  sorte  que  son  cos  . ait  le  signe  de  cos  (ip — H)]. 
On  peut  se  servir,  pour  vérification,  de  l’équation  suivante 
sin  2 y cos  1 
tang  2 g=  — 
1 1 , cos  2 B . „ 
1 sin  2 1)  cos  2y  — — (a  -+-  c)  - — ; — sin  I 
2 ' 2 a — c 
m e cos  [y  — /)) 
cos  y 
cos  IJ 
m rrr  1 / 
a -+-C  =a-+-c — — (' «- 
///  m 1 nr 2 
a — c — — e 
4 
a — c 
-ch — cos 
cos2  B 
x)s  2y^  si 
sin2/  j 
d»  s 'rl 
ou  a 
. m 
et  c 
Tl  1 y.  > 1 Tf!  TT  a 1 2 
11  = —='  ; E ou  sm  7]  = — e II  ; A = 
pour  vérification 
± cos  I 
= 7rT2COS  TJ. 
Il  reste  maintenant  à déterminer  le  moyen  mouvement  de 
la  longitude  moyenne  de  l’époque.  Soit  K la  constante  des 
Si 
tang  7jj  — — 
Pour  plus  de  commodité  on  prendra  ip  de  manière  que  son 
sinus  et  son  cosinus  aient  respectivement  les  signes  de  d et 
de  e. 
sin  2 [y  — B) 
tang  2y  : 
cos  2 ( y — B)  — 
4 cos2  y 
a — c 
cos  2 B 
Dans  la  formule  précédente,  2 y doit  être  choisi  de  manière 
que  sin  2 y soit  de  signe  contraire  à sin  2 (ip  — B). 
fl  = B + y 
K'=-  (l 
cos  2 y 
;«+«))  - 
J su 
sin  2 y 
sin  2 [y  — B) 
tang  2 1- 
K'  — 1 
I doit  être  pris  aigu  dans  le  mouvement  direct,  et  obtus 
dans  le  mouvement  rétrograde. 
aires,  on  a d’abord  K 
H - to 
T la  durée  de  la  révolution,  T=- 
’ K 
N le  moyen  mouvement,  N= 
2 TC 
En  partant  d’un  angle  de  position  a supposé  assez  exact, 
on  remontera  par  les  formules  connues  à la  longitude  de 
l’époque  f. 
tg  [v-fl)=^~~\  V=v-fl-((o-fl),tgY 
tang  i F 
cos . 
Ni  H-  £ — a : 
tg(450H-iç) 
E sinu;  d’où  e. 
Si  l’on  voulait  faire  concourir  tous  les  angles  de  position  à la 
détermination  de  e et  de  K , ce  qui  changerait  un  peu  les  va- 
leurs précédentes  de  T et  de  N , mais  de  manière  à mieux  re- 
présenter l’ensemble  des  observations  modernes,  voici  com- 
ment on  pourra  s’y  prendre  : 
Soit  aQ  la  valeur  de  a correspondant  à tQ;  8a0  l’erreur  de 
cette  position,  de  sorte  que  a0~ \-8a0  soit  la  véritable  valeur 
de  a;  S0  le  petit  secteur  correspondant  à ôa0  de  telle  sorte 
que  l’on  ait 
So  = Y Qo  (Qo  + %>  ) Sao- 
2)  Dans  ces  formules,  quelques  facteurs  pouvant,  dans  certains  cas,  se 
trouver  mal  déterminés;  il  sera  toujours  possible,  tant  que  les  incli- 
naisons ne  seront  pas  très  fortes,  de  les  remplacer  par  leurs  valeurs  bien 
déterminées  que  l’on  tirera  des  formules  qui  donnent  les  valeurs  des 
tangentes  des  angles,  2 B,  y,  2 y et  g. 
