Jl?  181.  BULLETIN  Tome  VIII. 
JW  13. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
RS  SAINT-  FÉTEKtBNIRCI. 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro, 
l’enveloppe,  le  frontispice,  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidov  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume,  est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements,  et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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passé,  à M.  Léopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  MÉMOIRES.  5.  Sur  les  racines  égales  des  polynômes  entiers.  Ostrogradsky.  RAPPORTS.  3.  Sur  un  osselet 
nouveau  dans  la  figure  de  l'homme,  découvert  par  M.  Gruber.  Baer.  BULLETIN  DES  SÉANCES. 
MÉMOIRES. 
5.  Sur  les  racines  égales  des  polynômes  en- 
tiers, par  M.  OSTROG11ADSKY.  (Lu  le  28 
Septembre  1849). 
1)  Désignons  par  la  lettre  P un  polynôme  entier 
axn  h-  1 -+-  a2xn  2 -T-. . . -+-  an 2 x~  -+-  an t x f an 
dans  lequel  x représente  une  quantité  Aariable,  et  a , av  a2,... 
an 2,  an j , an  sont  des  coefficients  numériques. 
Il  s’agit  de  trouver  les  facteurs  égaux,  s’il  y en  a,  du  poly- 
nôme P. 
La  détermination  de  ces  facteurs  résulte,  comme  corollaire 
fort  simple,  d’un  théorème  très  connu  dont  on  trouve  la  dé- 
monstration dans  la  plupart  de  traités  d’algèbre.  Par  ce  théo- 
rème, le  plus  grand  commun  diviseur  d’un  polynôme  entier  et 
de  sa  dérivée  est  composé  des  mêmes  facteurs  simples  que  le 
polynôme  lui  même,  seulement  chaque  facteur  y entre  une 
fois  de  moins.  Ainsi,  tout  facteur  qui  divise  le  polynôme  une 
seule  fois,  n’appartient  pas  au  diviseur.  Ceux  qui  dans  le  poly- 
nôme sont  doubles,  triples,  quadruples  etc.,  deviennent  re- 
spectivement dans  le  diviseur,  simples,  doubles,  triples,  etc. 
Il  s’en  suit  qu’en  divisant  un  polynôme  par  le  plus  grand  divi- 
seur commun  à ce  polynôme  et  à sa  dérivée  le  quotient  repré- 
sentera le  produit  de  tous  les  fadeurs  du  polynôme,  mais 
dont  chacun  n’y  entrera  qu’une  seule  fois,  ou  à la  première 
puissance. 
Pour  faire  usage  de  ce  théorème,  on  cherche  successive- 
ment le  plus  grand  commun  diviseur  Pl  de 
P et 
dP 
dx ’ 
le  plus  grand  commun  diviseur  P2  de 
Pi 
et 
dPx 
dx 
le  plus  grand  commun  diviseur  P3  de 
P2  et 
dPj 
dx  ’ 
ainsi  de  suite,  jusqu’à  ce  qu’on  arrive  à un  diviseur  Pi x qui 
n’a  pas  de  facteurs  communs  avec  sa  dérivée;  ce  qui  donnera 
Pi=  1 
Les  diviseurs 
P P P P P 
présentent  une  suite  de  polynômes  entiers  qui  ne  renferment 
d’autres  facteurs  que  ceux  de  P , mais  le  degré  de  multiplicité 
des  facteurs  dont  il  s’agit  diminue  à mesure  que  le  n°  des  di- 
viseurs augmente  ; en  sorte  que  le  diviseur  /*, x ne  renfer- 
mera que  les  facteurs  dont  le  degré  de  multiplicité  dans/* es! 
i,  et  il  ne  les  renfermera  qu’à  la  première  puissance.  Dans 
P;  = 1,  les  facteurs  de  P sont  à la  puissance  zéro. 
Cela  étant,  qu’on  divise  P par  Px,  PL  par  P.L,  P2  par  P3... 
P i 2 par  Pr j , et  enfin  P-  t par  Pi;  l’on  obtiendra  i quo- 
tients que  nous  désignerons  respectivement  par 
Q,  0i,  Qi-^ 
ensorte  que 
P = Qi\ 
