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Bulletin  physico  - mathématique 
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Pi  = Qip* 
- Qzp3 
Pi 2 Qi 2 Pi- 
P 
Qi-i  Pi- 
Quand  on  a trouvé  le  plus  grand  diviseur  Pt  commun  à P 
et  à 
dP 
dx 
Le  premier  de  ces  quotients  Q est  évidemment  le  produit  de 
tous  les  facteurs  simples  de  P , puis,  chacun,  une  seule  fois; 
le  second  quotient  n’est  formé  que  des  facteurs  doubles, 
triples,  quadruples,  etc.  de  P,  qui  sont  tous  réduits  à leur  pre- 
mière puissance  ; Q2  est  le  produit  des  facteurs  de  P,  à com- 
mencer par  les  triples,  réduits  à la  première  puissance;  ainsi 
de  suite,  enfin  Q- t ne  renfermera  que  la  première  puissance 
des  facteurs  de  P au  degré  i de  multiplicité.  Il  n’y  aura  pps 
dans  P des  facteurs  d’un  degré  plus  élevé  que  i,  autrement 
le  polynôme  P- l et  sa  dérivée 
*Pj— i 
dx 
auraient  un  facteur  commun. 
11  résulte  de  la  composition  des  quotients 
<?,  a,,... 
qu’  en  divisant  un  quelconque  par  celui  qui  le  suit,  on  trou- 
vera le  produit  des  facteurs  de  P au  degré  de  multiplicité 
marqué  par  le  numéro  du  quotient  diviseur.  En  etfet  le  quo- 
tient Qv  par  exemple,  étant  le  produit  des  facteurs  à commen- 
cer par  les  doubles,  et  Q2  celui  des  facteurs  ù commencer  par 
les  triples,  il  est  clair  que 
Qj_ 
Qz 
représentera  les  produits  des  facteurs  doubles  de  P réduits  à 
la  première  puissance. 
Si  donc  nous  faisons 
Q = <hQl 
Qi  — tfiQz 
Q%  — 93Q3 
et  quand  on  a enlevé  ce  diviseur  à P , ce  qui  donne  Q pour 
quotient,  qu’on  cherche  le  plus  grand  commun  diviseur  de  Pi 
dP 
et  Q,  au  lieu  de  chercher  celui  de  P0  et  — ■ 1 , ce  diviseur  sera 
M dx 
Qv  En  l’enlevant  à Pl  on  trouvera  pour  quotient  P2,  puisque 
pi  = QiPz 
Qu’on  cherche  ensuite  le  plus  grand  commun  diviseur  de  P2 
et  Qt,  on  trouvera  Q2 , en  divisant  P2  par  Q2  le  quotient  sera 
P 3,  puisque 
p,  = q2p3. 
Le  plus  grand  diviseur  commun  i P3  et  Q2  sera  Qr  en  l’en- 
levant à P3  on  trouvera  Pi.  Le  plus  grand  diviseur  commun 
;\  Pi  et  Q3  sera  Q4,  en  l’enlevant  à Pi  on  trouvera  P3.  Conti- 
nuant de  la  même  manière  on  arrivera  à Qt 2 et  jP; t,  on 
cherchera  leur  plus  grand  commun  diviseur,  on  aura  Qt j, 
en  divisant  P- t par  Q: t,  on  trouvera  Pi  = 1,  et  l’on  est 
averti  que  l’opération  est  terminée. 
Ayant  les  polynômes 
Q,  Qi , Qz,  Q3  ■ • • Qi-i , Qi 
on  s’en  servira  comme  tout-à -l'heure  pour  trouver  les  quan- 
tités 
?i’  <lz,  <13 
(Ii — i’  <U 
Qi — 2 — 9i- — i Qi — i 
Qi—  i — <nQi 
qui  sont  l’objet  de  la  question. 
3)  Ayant  rappelé  le  procédé  connu,  nous  allons  présenter 
celui  qui  nous  est  propre.  Nous  exposerons  d’abord  en  quoi 
il  consiste  et  puis  nous  le  démontrerons. 
Notre  procédé  exige,  de  même  que  le  procédé  connu,  que 
l’on  détermine  le  plus  grand  diviseur  P l commun  au  polynôme 
proposé  P et  à sa  dérivée 
dP 
dx 
et  quand  on  l’aura  trouvé  il  est  nécessaire  de  l’ôter,  non  seu- 
lement à P , mais  aussi  à sa  dérivée 
dP 
dx 
Supposons  en  conséquence 
P=  OP, 
la  série  des  quotients 
7i  ’ ?2’  9 3 , • • • 9i — i , H 
résoudra  la  question;  car  les  quotients  dont  il  s’agit  représen- 
teront respectivement  les  facteurs  de  P:  simples,  doubles,  tri- 
ples, quadruples,  etc.  réduits  partout  à la  première  puissance. 
2)  La  méthode  précédente  est  celle  en  usage.  On  peut  la 
modifier  légèrement  ainsi  qu’il  suit. 
dP 
dx 
PPr 
Ayant  trouvé  les  quotients  Q et  R,  formez  le  polynôme 
R-f 
dx 
et  cherchez  le  plus  grand  diviseur  commun  h ce  polynôme  et 
au  polynôme  Q.  Le  diviseur  dont  il  s’agit  sera  précisément  le 
produit  qt  de  tous  les  facteurs  non  multiples  de  P. 
