197 
de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
198 
Après  avoir  trouvé  qx  divisez  par  ce  polynôme  ceux-ci 
Q et  R - ^ , 
ax 
le  premier  quotient  qui  en  résultera  sera  , (n°  1)  désignez 
par  Rl  l'autre,  en  sorte  que 
Q = QiQi 
R ~ 1 = 
Les  polynômes  Qt  et  Rt  trouvés,  formez  celui-ci 
dQt 
dx 
et  cherchez  le  plus  grand  diviseur  qui  lui  soit  commun  avec 
Qi.  Le  diviseur  dont  il  s’agit  sera  le  produit  q2  des  facteurs 
doubles  de  P réduits  à la  première  puissance. 
Faites 
Qi  = QïQ2 
c’est-à  dire  divisez  Qi  et 
X,  ~ 
dQ  i 
dx 
par  q 2,  pour  avoir  les  quotients  Qz  et  R2>  puis,  après  avoir 
formé  le  polynôme 
2 dx 
cherchez  le  plus  grand  commun  diviseur  de  ce  polynôme  et 
de  Q2;  vous  trouverez  le  produit  q3  des  facteurs  triples  de  P 
réduits  à la  première  puissance.  Divisez  par  ce  produit  q6  les 
polynômes  Q2  et 
dQi 
dx 
X,~ 
le  premier  quotient  sera  Q}  (n°  1);  nommez  7î3  l’autre,  vous 
n’aurez  qu’à  chercher  le  plus  grand  diviseur  commun  à Q3  et  à 
rin _ 
R. 
dQ  3 
dx 
pour  avoir  le  produit  qi  des  facteurs  qui  divisent  P quatre 
fois.  En  continuant,  vous  arriverez  aux  polynômes  Q k t et 
Rk j ; vous  formerez  celui-ci 
*Ql- 
dx 
et  vous  chercherez  le  plus  grand  diviseur  commun  à ce  der- 
nier polynôme  et  à Q k r Le  diviseur  dont  il  s’agit  vous  re- 
présentera le  facteur  qi  qui  divise  k fois  le  polynôme  P.  En 
divisant  par  ce  facteur  Q k x et 
j > v 
Kk—  î 
dQk—i 
dx 
Xk- 
dQk 
dx  ' 
Continuez  de  la  même  manière  jusqu’à  ce  que  vous  arrive- 
rez aux  polynômes  Q; x et  R; t tels  que 
dQi — i 
Xi- 1 - 
dx 
0. 
Alors  le  plus  grand  commun  diviseur  qi  entre  Q x et 
Xi-i  - 
dQi- 1 
dx 
0 
vous  aurez  d’abord  le  quotient  Qi  (art.  1),  soit  Ri  l’autre  quo- 
tient. Ces  quotients  vous  fourniront  le  facteur  qi_^1  qui  divise 
-4-  1 fois  le  polynôme  P,  puisque  le  facteur  dont  il  s’agit 
est  le  plus  grand  diviseur  commun  à Qk  et  à 
représentera  le  facteur  qui  divise  i fois  le  polynôme  P ; ce 
facteur  est  visiblement  la  quantité  Q , l elle  même,  puisque 
le  plus  grand  diviseur  commun  à Q: j et  à zéro  est  sans  doute 
Qi Si  vous  divisez  par  qi  = Q- t les  quantités 
0,_,  e.  = 0 
vous  aurez  pour  quotients 
Qi  = 1 et  R;  — 0 
ce  qui  vous  donnera 
Ri  - d^i  = 0 
dx 
et  par  conséquent  le  diviseur  commun  à Q ; et  Ri  — — sera 
Qi- t-i  — ^ > 
et  il  y en  aura  visiblement  de  même  pour  les  quantités  q;^_v 
q;^_ 3 , q;_)_ 4 etc.  en  sorte  que  l’opération  est  terminée,  par  la 
détermination  de  et  vous  êtes  averti  que  P n’a  pas  de  fac- 
teurs d’un  degré  de  multiplicité  plus  élevé  que  i. 
Si  parmi  les  quantités 
Qii  Qii  Q31  • • ■ Qi — 1>  Qi 
il  s’en  trouve  qui  sont  égales  à l’unité,  vous  en  concilierez 
que  le  polynôme  P n’a  pas  de  facteurs  au  degré  de  multipli- 
cité représenté  par  les  n°  de  ces  quantités  , mais  l’opération 
ne  s’y  arrêtera  pas.  Supposon  par  exemple 
Qk  = I 
ce  qui  revient  à dire  que  les  polynômes  Qk x et 
dQk- 1 
Xi- ! - 
dx 
n’ont  pas  de  facteurs  communs.  Vous  aurez 
Qk-i 
Qk 
R k — 1 — 
Xk 
n 
dQk— i 
dx 
Qk- 1 
Xh- x - 
dQk — i 
U “ |*  dx 
et  vous  chercherez  le  plus  grand  commun  diviseur  Qi+l  de 
Qk  - Qi — i et  de 
Xk  - d-§±  = Rk — j - 2 
dx  * dx 
Si  est  aussi  l’unité  vous  aurez 
Qk-h  1 — Qk  — Qk—  1 
