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Bulletin  physico-mathématique 
200 
n 
k-t-l 
dQk  _ 2 dQk — t 
~ nr  — Hk—i 
et  vous  chercherez  le  plus  grand  diviseur  qk+2  commun  à 
Qk+i  = Qk—i  et  à 
Pk-+- 1 
dQk-i- 1 
dx 
Rk- 1 - 
3 dQk — x 
dx 
ainsi  de  suite. 
Ayant  trouvé  les  quantités 
?i  » ?3  • • ‘ Qki 
vous  aurez 
?/ — i » ?< 
13  k i — 1 ' 
P — • • • U • • • ?/— 1?/— 1 
4)  Prenons  pour  exemple 
p=x7  — 4.* 6 3a:5  — 3a:4  -t-  36a?3  — 81a;2  -h  G8a?  — 20 
nous  aurons 
dP 
dx 
— 7 a?6  — 24a?5  15a?4  — 12a?3  -+-  108a?2  — 162a;  -t-  68. 
En  cherchant  le  plus  grand  commun  diviseur  Pl  de  P et 
on  trouve 
Pl  = a;3  — 4a?2  -i-  5a?  — 2. 
Divisant  par  ce  diviseur  on  a pour  quotients 
P 
dP 
dx 
- = Q = .t4  — 2a?  — 9a?  H-  1 0 
— — = /?  = 7a?3  -t-  4a?2  — 4a?  — 34 
donc 
7?  — --  = 3a?3  H-  4a?2  — 25. 
dx 
Le  plus  grand  diviseur  qt  commun  aux  polynômes 
Q = a?4  — 2a?2  — 9a?  -t-  10 
et 
Jl  __  dQ  = 3a;3  -4-  4a?2  - 25 
dx 
est 
q{  = x‘i  -i-  3a?  -HH  5. 
11  exprime  le  facteur  simple  du  polynôme  proposé.  En  le  sup- 
primant, on  trouve 
— — Q.  = a?2  — 3a?  h-  2 
9i 
dQ 
R 
dx 
— Rt  — 3a?  - 5- 
en  réside 
2- 
Le  plus  grand  diviseur  </2  commun  ax  polynômes 
et 
est 
Q1  = a?2  — 3a?  -t-  2 
Ä, -i^  = x-2 
q2  = x—  2. 
C’est  le  facteur  qui  divise  P deux  fois;  en  le  supprimant,  il 
vient 
0i 
92 
— Q,  = a?  — î 
d(>, 
dx 
9% 
= Äa  = 1 
donc 
/?2  — — - — 0 
dx 
par  suite 
q3  = Qi=x  — 1 
et  l’on  est  averti  que  l’opération  est  terminée.  Nous  aurons 
en  conséquence 
P — = (a?2  -t-  3a?  -t-  5)  (a?  — 2)2  (a?  — l)3. 
5)  Supposons  encore 
P = a?12-f-8a?11-4-36a?lo-4-101a?9-+-193a?8-f-228a?7-f-120a?6 
— 114a;5  — 213a;4— 36a;3  h- 324a;2n- 405a; -4-243. 
En  différentiant  on  trouve 
dP 
— = 1 2a;1 1 -4-88a;’ °-+- 360a?1 0 -f-909a?8 -f- 1 544a;7  h- 1 596a;6 
H-720a?5  — 570a;4  — 852a;3  — 108a?2-H648a?-f-405 
dP 
le  plus  grand  diviseur  Pt  commun  à P et  — est 
Pi  = a?6  -t-  6a?5  -i  21a?4  -t-  44a?3  -f-  63a?2  54a?  -4-  27. 
En  divisant  P et  — par  ce  diviseur  on  trouve 
dx 
Q — a;6  -4-  2a?5  h-  3a;4  — 3a?3  — 3a?2  — 3a?  H-  9 
II  = 12a?5  -t-  16a?4  -t-  12a?3  — 27a?2  — 6a?  -t-  15 
donc 
R — ^ = 6 (a:5 -4- a-4  - 3a;2 -f- 3). 
dx 
Le  plus  grand  diviseur  qt  de  Q et  R — c’est  à dire  de 
et 
est 
a?6  H-  2a;5  -t-  3a;4  — 3a?3  — 3a?2  — 3a?  -t-  9 
a?5  -t-  a?4  — 3a;2  -+-  3 
qt  — x4  — 3a;  -t-  . 
