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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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En  divisant  par  ce  diviseur  il  vient 
Q1  = x2  -h  2x  h-  3 
Rt  = 6æ  h-  6 
donc 
les  quantités 
R.  - ^ = \x  -+-  4- 
1 dx 
x2  -t-  2x  -+-  3 
et 
i+l 
n’ayant  pas  de  facteurs  communs,  nous  en  concluons 
?2=  1 
donc 
Q2  — x~  — 1—  2.r  — I—  3, 
et 
R2  = h-x  -4-  4 
7?,  - 2,r 2. 
Le  facteur  commun  à 
et 
2 cte 
æ2  h-  2x  h-  3 
x-t-  1 
étant  l’unité,  nous  avons 
?3  ^ 
donc 
et 
Q3  = x2  2æ  -I-  3 
R , = 2x  -4-2 
Désignons,  comme  dans  le  n°  1,  le  plus  grand  diviseur  com- 
dP 
mun  à Pl  et-^-  par  P 2,  et  après  l’avoir  enlevé  à Pt,  ce  qui 
dP 
nous  donnera  O, , ôtons  le  aussi  à — Soit 
1 dx 
Les  polynômes  S et  seront  premiers  entre  eux  E11 
dp 
supposant  à Pv  et  — — les  valeurs  précédentes,  il  vient 
(«-di)OA=QSP, 
ou  bien 
il  s’en  suit 
qi  = x2  -+-  2x  -+-  3 
et  l’opération  est  achevée.  Nous  avons 
P = qtq 4 = (xf  — 3x  -t-  3)  (x2  -+-2xh-  3)*. 
6)  La  démonstration  du  procédé  que  nous  proposons  est 
d’une  extrême  facilité.  En  effet,  reprenons  les  équations 
Q?i  — P 
RP  = d P , 
1 dx 
en  remplaçant  dans  la  seconde  la  dérivée  de  P par  celle  de  QPt 
il  vient 
ou  bien 
RPt  = dß-P\-*~Q 
1 dx  1 v dx 
V dx  J 1 v dx 
0 -s)e.=e* 
Nous  en  concluons  que  ()  est  divisible  par  , ce  que  nous 
savons  du  reste,  et  même  nous  avons  supposé  (n°  1) 
il  s’en  suit 
Q = hQi 
„ dQ  c 
il  en  résulte  que  le  produit  qt  des  facteurs  simples  de  P est 
le  plus  grand  diviseur  commun  à Q et 
dx 
et  que  le  polynôme  5 est  celui  que  nous  avons  précédemment 
• • dpi 
désigné  par  Rl  ; donc  Rt  est  le  quotient  de  la  division  de 
par  qt , en  sorte  qu’en  même  temps  que 
Q = <hQi 
dQ 
dx 
R-^  = qiR{ 
nous  aurons 
0A  = A 
V.= 
dPy 
dx 
En  remplaçant  la  dérivée  de  Pt  dans  la  dernière  équation  par 
celle  de  QiPi  il  vient 
dx 
OU 
Désignons,  comme  on  l’a  déjà  fait,  le  plus  grand  commun 
dP 
diviseur  de  P2  et  2 par  P3  et  soient 
Pt=Q*P3 
dP 
-2  = SP, 
dx  3 
