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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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de  a.  Elle  restera  alors  constante  pour  une  même  cou- 
che et  variera  d’une  couche  à l’autre. 
En  remplaçant  la  masse  dm  par  le  produit  de  la  den- 
sité et  de  l’élément  du  volume,  et  substituant  aux  coor- 
données X ^ y , Z les  coordonnées  p,  q,  r,  les  équations 
(1)  et  (2)  deviendront 
0 z::  / qr'^a  (cos'^q — dad  pdq 
0~  f Q r'^cô  Çsin^q  cos  — \')dadpdq 
0~  / (sin  ^<7  sin  — ^)dadpdq 
0 ~ f Qi-^(o  cos  q sui  q cos  P dadpdq 
0 ~ f qr'^cù  cos  q sin  q sin  P d ad  P dq 
0 ZZ  / qr -CO  sin ‘^q  cos  P sin  P dadpdq, 
CO  désignant,  pour  abréger,  l’expression  connue 
(dy  dz  dy  dz\  dx  fdy  dz  dy  dz\  dx 
dq  dp  dp  dqj  da  \da  dq  dq  da)  dp  ‘ 
Comme 
nous  aurons 
dydz. 
P dy  dz  dy  dz\ 
\dp  da  da  dp) 
dx 
da  dp)  dq 
dy  dr 
da 
dz 
da 
zz  — sin  q cos  , 
da 
dr 
sin  q sm^, 
(3) 
da  d q 
dy  dz 
dp  da 
dy  d Z 
d q da 
dy  dz 
da  dp 
. dr / dz 
smqj-a(cosp-q- 
. dr P dz 
-sm<7~(^co.p 
dp 
^^^Pdq) 
or 
Z cos  P — JP  sm  P ~ 0 
donc,  en  difîeren liant, 
(4) 
dz  . dy 
cos  P sm  P ~ 0 
cos , 
dq  “ ^ dq 
d Z . d y 
Sin  P ^ ~ r smq 
dp  ^ à q 
puis , en  mettant  la  première  des  équations  (4)  sous  la 
forme 
cos  P sin  P 1 
dy 
d’ 
OU 
dz  dy  . . dz 
rf,  '“/’S,  + "“/’S? 
cos  P üz; 
sin  P ~ 
dj' 
d q 
la  seconde  en  deviendra 
dydz  dydz 
d q dp  dp  dq 
dy  , . dz 
COS  P ^ -f-  sm  » — 
' dq  ' ' dq 
d Z 
^ ^ 
dy  , . dz 
COS  p~  sm  P — 
dq  dq 
Cette  équation  et  les  équations  (3)  et  (4)  réduiront  la 
valeur  de  o à 
. pd(rs\nq)  dx 
r sin  q { — ^ id  — 
' \ dq  da  da  dqJ 
dÇrsmq')  dx\ 
OU  bien , en  mettant  pour  x sa  valeur  r cos  q 
d(rcosq)  \ . 
^'\sinq  — i 
dr  / d(r sin  q) 
dq  dq  da 
En  substituant  cette  valeur  de  <a,  nous  aurons 
0 — f (cos  ^q  ~ sinq  dadpdq 
sin  q dadpdq 
^ — f q^'^  ~d^  ^sin  sin  2p  — sin  ^ dadpdq 
0 zz  fqr^  cos  q sin  q cos  p . sin  q dadpdq 
0 zz  J"q  cos  q sin  q sin  p . sin  q dadpdq 
d r 
. dr 
sin  q 
d a 
sin  "^q  cos  p sin  p . sin  q dadpdq 
r sin 
r sm  q 
p dy  . dz\ 
d(rdy) 
dq 
«=/, 
Désignons , pour  plus  de  simplicité , les  intégrales 
/ 7’®  (cos  “^q  — I)  sin  qdpdq 
f r®  (sin  ^<7  cos  ^p  — |)  sin  qdpdq 
f 7"®  (sin  ^<7  sin  ^p  — |)  sin  qdpdq 
f 7-®  cos  q sin  q cos  p . sin  qdpdq 
f 7’®  SOS  q sin  q sinp.  sin  qdpdq 
f 7'®  sin  ^<7  cos  p sinp.  sin  qdpdq 
respectivement  par  77,  'u , iv,  u\  x',  w\  nos  equations 
de  condition  deviendront 
fq±da  = a 
/ p — ZZ  0 
J ^ da 
N’en  considérons  qu’une  seule,  la  première  par  exemple, 
J Q da  — 0.  Ce  que  nous  en  dirons,  s’appliquera 
aux  cinq  autres.  Comme  la  fonction  p est  toujours  posi- 
tive , nous  aurons , en  désignant  par  A une  certaine  va- 
leur moyenne  de  cette  fonction , 
da  — AU—  Aü' 
da 
U et  V désignant  ce  que  devient  u pour  les  valeurs, 
extrêmes  de  a auxquelles  répondent  ;•  zz  Ä et  /■  ” 0 
