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Bulletin  physico-mathématique 
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Nous  nommons  R le  rayon  vecteur  de  la  surface  du 
sjdie'roïde.  Il  est  visible  que  la  valeur  de  u pour  r — 0, 
c’est-à-dire  U'  est  ze'ro  5 donc  ~ 0,  savoir  17  — 0. 
nous  aurons 
0 ~ sin  q dp  dq 
or,  en  assuje'tissant  les  constantes  A^B^C  à la  condition 
On  trouvera  de  la  même  manière  que  ii\  W 
rapporte's  à la  surface  du  sphéroïde,  deviennent  zéro, 
c’est-à-dire  que 
(5) 
R^  (cos  “^q 
i)  sin  qdpdq 
=:  /■  R^ 
(sin  "^q  cos  “^p  ■ — g)  sin  qdpdq 
~ / R^  (sin  "^q  sin  — t)  sin  qdpdq 
R^  cos  q sin  q cos  p . sin  qdpdq 
R^  cos  q sin  q sin  p . sin  qdpdq 
f R^  sin  "^q  cos  p sin  p . sin  qdpdq 
Or  un  célèbre  géomètre,  M.  Diricblet,  a prouvé 
qu’une  fonction  àe  p et  q , entre  les  limites  0 et  27t 
pour  p,  et  0 et  TT  pour  <7,  jjeut  être  développée  en  série 
Zq  -\-  Zj  Zj  -f  Zg  -j-  . . . . -j-  Z„  etc. 
dont  le  terme  général  Z„  est  une  fonction  rationelle  et 
entière  du  degré  n des  trois  quantités  cos  q,  shiqcosp, 
sin  q sin  p , satisfaisant  à l’équation 
Q=-^d 
siri  q 
ßj 
+ 
_ ^ 
dp'^ 
-!-«(« -fl)  z„ 
Ainsi  nous  pouvons  supposer 
n T"o  + T'j  -f  Tj  -f  Tj  4-  etc. 
les  fonctions  JT  étant  de  même  espèce  que  les  Z , en 
sorte  que  est  une  fonction  entière  et  rationelle  du  de- 
gré n de  cos  q , sin  q cos  p,  sin  q sin  p , et  elle  satisfait  à 
l’équation 
Q — -^d 
sin  q 
d^Y. 
' if  v'z"  “f  “f*  B 
Sill'^q  dp^  \ ' J i 
Par  les  propriétés  très  connues  de  la  nature  des  fonc- 
tions que  nous  employons  ici,  et  faisant  attention  que 
cos  sin  ‘^q  cos  V — 1 5 sin  ^q  sin  ^ — I 
cos  ^ sin  ^ cos  p,  cos  <7  sin  ^ sin  p , sin  ^<7  cos  sin  p 
sont  des  valeurs  particulières  de  la  fonction  , les 
équations  (5)  se  réduiront  à 
Ozzzf  JÂ(cos^<7 — \)  sin  qdpdq 
0 “ / T'a  (®in  cos  ^p  — |)  sin  q dpdq 
0 ~ / T^  (sin  "^q  sin  — |)  sin  q dpdq 
Q — f cos  q sin  q cos  p . sin  q dpdq 
0 :z;  / Y^cosq  sin  q sin  p . sin  q dpdq 
0 ziz  f Y.^sin'^q  cosp  sinp  . sin  q dpdq 
Il  est  visible  qu’en  désignant  par  A^  B,  C,  1),  E,  F 
des  constantes  quelconques  et  faisant  pour  abréger 
A {cos'^q  — 0 -f  (sin  ^<7 cos ®p  — |)  -f  <7  (sin  ^<7  sin ^p — 1) 
+ I>  cos  q sin  q cos  p + E cos  q sin  q sin  p 
-f  T sin  ^<7  cos  p sin  p ~ M 
A B C ^ 
la  fonction  M sera  de  même  espèce  que  Y^  ; ainsi  en 
remplaçant  M par  Zç^  , nous  aurons  , quelle  que  soit  la 
fonction  Z^ 
0 ~ / Zj  Tj  sin  q dpdq 
nous  pouvons  prendre  pour  Z^  la  fonction  , prise 
dans  la  série 
To  -f  Aj  a -f  Aj  a'^  -f  Ag  «3  _ 
qui  naît  du  développement  du  radical 
1 
Vl  — 2 (cos  q cos  q'  -f-  Siti  q siu  q'  cos  (p  — p' Ÿ)  o.  -f 
suivant  les  puissances  de  a , p'  et  q'  désignant  des  an- 
gles indépendants  de  p et  <7.  Nous  aurons  alors 
0 ~ / X^Y^sin  qdpdq  ~ ^ Y\ 
ou  0 — Y\^ 
Y' ^ désigne  ce  que  devient  Y^ , quand  on  y fait  p n:  p' 
et  q ~ q'.  Or  p'  et  q'  étant  quelconques , il  est  clair 
que 
T,  = 0. 
Ainsi  la  condition  de  l’égalité  des  moments  d’inertie 
se  réduit  à ce  que  T^  manque  dans  le  développement 
de  R^  en  série  de  la  forme 
Tq  -f  Tj  -f  Tj  -f  Tg  -f  etc. 
Cette  condition  est  précisément  celle  que  Laplace 
donne  pour  les  sphéroïdes  homogènes.  On  en  tire  pour 
les  sphéroïdes , soit  homogènes  soit  composés  de  cou- 
ches homogènes  , ayant  tous  leurs  moments  d’inertie 
égaux  , l’équation  suivante  ; 
T z=lf{p.q)  — ^^f  fip'.q')  X^sin  q'  dp'  dq', 
f (p  .q)  désignant  une  fonction  quelconque  de  p et  q,  et 
les  intégrales  relatives  à p'  et  ^'s’étendent  depuis  p'~0 
et  ~ 0 jusqu’à  p'  zz:  27t  et  q'  zz;  n. 
11  serait  très  facile  de  trouver  l’équation  des  sphéroï- 
des hétérogènes  d’une  manière  quelconque  et  dont  tous 
les  moments  d’inertie  seraient  égaux. 
Emis  le  14  octobre  1842. 
