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Bulletin  physico-mathématique 
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possible  d’e'tablir  une  relation  alge'brique  entre  celles  qui  | 
resteraient.  On  peut  appeler  irréductibles  les  fonctions 
transcendantes  qui  ne  peuvent  être  liées  entre  elles  par 
aucunë  équation  algébrique. 
Au  surplus,  si  les  fonctions  fj,  ïg,  . . . pouvaient 
avoir  plusieurs  relations  algébriques,  on  ramènerait  faci- 
lement ce  cas  à celui  où  l'on  ne  suppose  qu’une  seule 
relation.  Car  un  nombre  quelconque  de  relations  peut 
être  ramené,  au  moyen  de  rélimination,  au  même  nombre 
d’équations  dont"  cbacune  ne  renfermerait  que  les  trans- 
cendantes qui  ne  peuvent  satisfaire  à aucune  autre  équa- 
tion algébrique. 
2.  Pour  distinguer  les  transcendantes  directes  des  fonc- 
tions inverses,  nous  dénoterons  les  dernières  par  les 
lettres  Mj,  «3,  . . , et  nous  laisserons  les  lettres 
t\->  ^3’  • • pour  représenter  les  fonctions  directes. 
Cela  posé,  considérons  une  des  transcendantes  t comme 
fonction  de  x et  de  tj,  . . . Uj,  . . 
fonction  donnée  par  l’équation  algébrique 
0 (p  \_X  , t , t ^ Ï J , t g , . . . W J , U J , U J , . . . 
Ou  Ce  qui  revient  au  même  , regardons  t comme  fonc- 
tion algébrique  de  x, 
En  différentiant  cette -fonction , on  en  tirera  pour  dt 
une  expression  de  la  forme  ' ^ , 
Âdx  -P  ’J’idty  -t-  Tg  dt^  . . . . dii^  -j- 
U ^d  U IJ  ^ du  ^ . 
Eeprésentons,  pour  plus  de  simplicité,  par  la  notation  de 
Lagrange  les  coefficients  diflérentiels 
dt  dt'i  dt^  ' du^  du^ 
dx*  dx  ’ dx  * dx  ^ dx  * 
nous  aurons 
t'  — X T^t\ J 4-  ^3  ^ 3 “1“  • • • ~1"  f + 
êZj  W J 4-  ê/g  «'3  -f-  . . . 
Les  quantités 
A,  7;,  7;,  Tg,...  f/,,  f/g,C/g,... 
seront  évidemment  fonctions  algébriques  de 
X,  t,,  sans  L 
et  t'  est  une  fonction  algébriqne  de  x tout  seul.  Or,  dès. 
que  t ne  se  trouve  pas  dans  l’expression  précédente  de 
t\  aucune  des  transcendantes  , 
B’  ^2’  • • . W|,  . 
ne  peut  pas  s’y  trouver  non  plus  5 elles  doivent  donc 
s’en  aller  de  la  fonction 
T^t\  4- ...  4-  u'j  -f-  Cèj  m'j  4- . . . 
ou  de  la  fonction  f',  comme  si  elles  étalent  des  variables 
indépendantes.  Ainsi  nous  aurons 
-<s,  41  = 0 
dt 
dto 
4-=o,...4=o,  4=0, 
atg  <2  H J aitg 
dt' 
du. 
0, 
mais,  en  différentiant  la  quantité  t'  par  rapport  à ij,  nous 
trouverons 
dtq 
1 
de  dX  , dT.  , , dT,  , 
~ dt-^  dt^  * 
cl  U ^ / ■ 
dU, 
dt, 
faisant  attention  que,  par  la  nature  des  fonctions 
A,  7;,  T,,...U„  U„... 
on 
doit 
avoir 
dX 
d t, 
dT, 
dt. 
d X 
dT, 
dt , 
dT^  dT, 
dt,  dt^ 
dü,  dT, 
dt. 
du. 
dU.^  dT, 
dt,  i/Ug 
Nous  trouverons 
dT,  dT,  , ^dT,  I ^ dT,  , j 
jt;— ■ + ^7  “>  + 
dT^  , 
dt' 
en  sorte  que  ~ n’est  autre  chose  que  la  dérivée  com- 
dt‘ 
plète  de  T,  par  rapport  à X',  ainsi  l’équation  — ~ 0 
revient  à 
celle  ci  donnera 
• . . T,-C„ 
C,  étant  une  constante  arbitraire.  On  trouvera  de  la 
même  manière 
7g  zz  6’g . . . . . 
fTg,  C,,  ....  étant  des  quantités  indépendantes  àe  x. 
Les  diflerences  paitielles  dè  t par  rapport  à ïj,  t^,. . . 
étant  des  coiistantes , il  s’en  suit  que  t ne  peut  être 
qu’une  fonction  linéaùe  de  Éj,  ïj,  ... 
Si  nous  difi’érentions  da  valeur  de  t'  par  rapport  à 
