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Bulletin  physico- mathématique 
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eines  7 ou  7;  de  l’e'quation  y zi:  0,  et  par  'ipx  — 0 l’é- 
quation finale,  on  a 
n , tn 
yjx  = ^0^0  ^ (j,  — Tjy  (Ji  (/i  — 7]„,)  ^ 
\ CTz  — Vl)  (jz  — Vz)---  if  Z — Vm)] 
^if  n Vl)  \f  n ^2)  • * • if  n ^/m) ^ • 
Supposons  que  les  racines  j se  partagent  en  i grou- 
pes, selon  leurs  différens  degrés;  savoir  que  l’équation 
9 “ 0 ait  7’j  racines  du  degré  de  degré 
enfin  racines  y du  degré  hj,  et  soit  ^ ^*2  ■ 
en  excluant,  par  le  signe  l’égalité.  De  même  les  ra- 
cines 1]  se  partageront  en  un  certain  nombre  (y)  de 
groupes  ; admettons  qu’il  y en  ait  du  degré  , p^ 
du  degré  £^,. . .enfin  p:  du  degré  f et  soit 
Cela  posé,  si  l’on  considère  avec  quelque  attention  l’ex- 
pression ci-dessus  proposée  de  ijj  x , on  voit  rpie  le 
degré  de  'tpx  se  forme  d’une  somme  des  degrés  des  ra- 
cines r et  7],  dans  laquelle  le  degré  de  chaque  racine, 
prise  dans  l’une  des  deux  séries  y et  tj,  se  rencontre 
autant  de  fois  qu’il  y a clans  l’autre  série  de  racines 
d’un  degré  inférieur  à celui  de  la  racine  primitivement 
choisie. 
On  tire  de  là  ce  théorème:  «Si  l’on  ordonne,  d’après 
l’ordre  descendant  des  degrés  , les  rac  rnes  y el  T]  des 
équations  proposées,  on  trouve  le  degré  de  l’écpration 
finale  ipx~0  en  multipliant  le  degré  de  chaque  racine, 
soit  de  la  série  des  y soit  de  celle  des  rj,  par  le  nombre 
de  racines,  de  l’autre  série  qui  suivent  cette  racine  dans 
l’ordre  établi  des  degrés,  et  faisant  une  somme  de  pro- 
duits semblables  pour  toutes  les  racines  r et  7;,  somme 
à laquelle  il  faut  encore  ajouter  le  nombre  na^  nib^, 
Oq  et  désignant  les  degrés  de  et  respectivement  « 
Observons  encore  C[ue,  si  le  degré  de  quelqnes  racines 
y est  égal  à celui  de  quelques  T],  il  sera  indifférent  pour 
l’application  de  la  règle  précédente,  de  ranger  les  y 
avant  ou  après  les  Tj  de  même  degré.  Pour  fixer  les 
idées,  nous  rangerons  toujours,  dans  de  tels  cas,  les  y 
avant  les  ou  les  h avant  les  e.  Par  exemple,  je  sup- 
pose les  équations  proposées  telles  qu’on  ait  i~  3,  j'ZZh-^ 
et  que  l’ordre  des  degrés  soit  celui-ci: 
on  trouvera,  en  se  rappelant  qu’il  y a racines 
respectivement  des  degrés  b^h^h^,  ^^Pi}*zPzPi.  lacines 
Tj  resp.  des  degrés  ^3  ^41  la  valeur  du  degré  final 
exprimée  comme  il  suit: 
g — na^  -I-  mb^  -f  m -f-  + r^h^)  (p^  + pj  -j- 
iPi  ^i+Pz^z)  C'’2  + '’3)5 
m étaut  égal  Pi  p^  -\~  P3  P^-,  c’est-à-dire  au  nombre 
des  racines  tj,  etg^  désignant  généralement  le  degré  final. 
Pour  donner  un  exemjile  numérique,  soit 
/ = MT"  + i-^^)y^  y^  +i^^^+ 
+ i^')f^  + ijc^)y  + M ==  o, 
9 = + i^^)f^  + 
Dans  cet  exemple  j’ai  marqué  par  un  trait  superposé 
les  termes  qTii  déterminent  les  différens  degrés  des  ra- 
cines TJ  et  y,  et  que  j’appelle  termes  principaux  des 
polynômes  f et  9,  dont  la  distinction,  d’ailleurs  très 
facile,  est  essentielle  dans  difl’érentes  recherches,  comme 
on  a pu  le  voir  dans  un  autre  endroit  du  journal  de 
Grelle  (p.  263  du  20me  volume).  En  effet,  les  degrés 
des  racines  des  proposées  doivent  être  tirés  des  égalités 
suivantes  qui  se  présentent  successivement,  savoir; 
-l-6=;6f, -f  9,  6f^-f  9 z:4f2  + 10,  ifg-f-lOrrG, 
7 /q  -j-  3 üz  6/ij  -j-  8 , -|-  8 -|-  7 , 4/ig  -}-  7 __ 
^ 2, 
d’où  l’on  tire 
^1  = 1^  Pi  = 2;  ^2  = 1’  P2  = 2;  — ^3  =:  4; 
— 5 , 7 2 — . 1 ; — J,  — 2,  — 1 , 
7 3 — 3 ; /i^  — 2 , 7 ^ — 1 ; 
par  conséquent 
>h>h>  K > K —^z>  K- 
De  là  on  obtient  le  degré  g de  l’équation  9'*^  — 0 
^ = 7.6-1-  8.3  -f  8/71-1-2.4/72 -f  2. 6?!  + 3 .4/73  -f- 2.6^2 
-f  4s3  =;  66  -H  40  — 4 — 12  -f- 18  -f-  6 — 4 n 110. 
Dans  l'article^  6ème  du  22me  volume  du  journal  de  M. 
Grelle,  nous  avons  donné  pour  le  degré  final  la  formule 
g — mb^  + + ^2+-  ••+ 
