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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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en  désignant  généralement  par  la  lettre  k le  degré  qu’- 
obtient la  fonction  /{pc^y),  en  y mettant,  au  lieu  dejy, 
une  des  racines  y de  ^(j?,  jy)~0  dont  h est  le  degré. 
Nous  allons  d’abord  transformer  cette  formule  pour  la 
comparer  à la  règle  que  nous  venons  de  trouver  ici. 
Pour  cet  effet  écrivons 
au  lieu  de  A,,^  3^ 
L i 
de  sorte  que  a^a^.  , représentent  les  degrés  des  po- 
lynômes A^A^  ...B„.  Gela  posé,  soient 
les  termes  principaux  de  cp{x,  j~),  rangés  par  ordre, 
c’est-à-dire  de  sorte  qu’on  ait 
o<Aj  <A2...<A,_i<7Z. 
On  volt  en  effet  que  le  premier  et  le  dernier  terme  du 
polynôme  9 {x,  y)  sont  toujours  compris  parmi  ses  ter- 
mes principaux,  et  j’ajoute  encore  la  remarque,  très  fa- 
cile à vérifier , que  si  h y indique  le  nombre  le  plus 
grand  parmi  ceux  de  la  suite  le  terme 
y^~^'  de  9 sera  toujours  un  terme  principal.  Si 
dans  la  suite  bç^b^.  , \b^  il  y a plusieurs  nombres 
b ^ / b • . • b^u 
égaux  entre  eux  et  plus  grands  que  tous  les  autres,  en 
supposant  A" . . .<[  , le  premier  et  le  dernier  des 
termes 
y" - (x’^')  y"-^" {J'y  j"  - 
seront  toujours  des  termes  principaux,  tandis  que  les 
autres  ne  le  seront  pas. 
En  général  chaque  terme  de  la  suite 
nh-\-b^,  {n  — X^)h-\-b^  {n  — X^)h-\-bx  >-  • 
l Çi 
...(«  — b„, 
à l’exception  du  premier  et  du  dernier  entre  eux,  dé- 
termine deux  valeurs  différentes  de  A,  selon  qu’on  l’é- 
gale au  terme  qui  le  précède  ou  à celui  qui  le  suit.  En 
effet  on  a 
("  1)  "1"  J ^ , 
('•-V 
' / < V “•  * ' 
et  ^ 
Soit  donc  f le  degré  d’une  racine  7],  compris  entre  k et 
^*p4-i  *->u  egal  a on  voit  aisément  que  la  quantité 
(n  — A ) f -|-  A;  sera  le  plus  grand  des  termes  de  la 
suite: 
-7  Ao,  (n  — 1)  e -f  A^,  («  — 2)  f -f-  A^. . . .£  -j-  b„_^,  A„, 
ou  bien  lorsque  e~h^,  elle  sera  égale  à ' 
(«— A^^_^ 
et  peut-être  encore  à quelques  uns  des  termes 
î 
(/Z  U)  £ -f  A^ , 
dont  les  X sont  compris  entre  X^_^  et  X^,  mais  plus 
grande  que  tous  les  autres  termes  de  cette  suite  à l’ex- 
ception d’elle  même.  Par  conséquent^ on  a 
^ ^ , 
/.  ” ! 
en  désignant  par  l le  degré  qu’obtient  9 en  y mettant 
au  lieu  de  y une  racine  rj  du  degré  £.  Si  £ ~ A , on 
P ’ 
a encore 
l — — -^p  — 1)  f 5 
et  comme  il  sera  nécessaire  dans  la  suite  de  choisir  dans 
ce  cas  entre  ces  deux  expressions  de  l,  nous  fixerons 
toujours  notre  choix  sur  la  première,  qui  est  celle  qui 
répond  à la  valeur  la  p^s  grande  de  ç et  de  X^.  En 
représentant  par  /j ' ^^s  valeurs  de  l qui  corres- 
pondent resp.  aux  valeurs  fj  e^.J.sj  de  £,  et  se  rappe- 
lant qu’il  y a racines  rj  du  degré  £j,...,  l’expression 
du  degré  final  proposée  dans  la  note  citée  déjà  plusieurs 
fois  devient: 
g ^ n«o  /j  -4-  P2  ^2  -f  . . -4-  P-  Ij  —nct^-\-E  (p  L). 
..  y=l 
En  mettant  pour  ly  sa  valeur  (n  — X^)  Sy  -j-  A^^  on  peut 
écrire  cette  formule  comme  il  suit: 
S = nao-\-  É(p  bx)  + 3S(n  \)Py^y]  (I) 
7=1  V 7=1  '• 
