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Bulletin  physico-ma thématique 
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ç étant  toujours  de'terminé  par  la  condition 
Soient*  encore 
(i"»)  J™'  (x“».  j j“' {^“h)  /’*- 
les  termes  principaux  de 
/etO<0,<Ö2-.-<ö/-.x<m^ 
soit  de  plus  h le  degré  d’une  racine  y de  <p~0,  compris 
entre  et  ou  égal  à le  degré  qu’acquerra 
y”  en  y substituant  au  lieu  de  f luie  racine  f de  9 ~ 0 
du  degré  h,  sera 
k — (ni  — dy)  h -I-  a.ß  . 
C ! 
Dans  le  cas  particulier  on  a encore 
k — (m-6y+;)h  + aß 
. '■■•Mi  . *'^1 
puisque  i , 
(m  — 0^)  + aß^  = (7n  — d^_^  1 + 1 + "0^ 1 -, 
mais,  dans  ce  cas,  nous  fixons  le  choix  de  l’indice  r sur 
sa  valeur  la  plus  petite  qui  entraîne  la  valeur  la  plus 
petite^  admissible  de  â^.  L’expression  de  g,  analogue  à 
celle  que  nous  venons  d’obtenir,  devient  donc,  en  se 
rappelant  qu’il  y a Tj  racines  y du  degré  qui  don- 
nent pour  le  degré  de  J"  la  valeur  et  ainsi  de  suite: 
y=i 
g TZnib^  L (t'y  kÇ)  ou  bien 
y=l 
n.  '/ 
g:=zmb^-\-î:(r  aß  ) -f  Z S (m  — 0^)  r > (II) 
y=i 
|1()' 
V étant  déterminée  par  la  condition  ^ ^ j. 
Reprenons  maintenant  la  règle  que  nous  venons 
d’abord  d’éqoncer  dans  l’article  présent.  Si  l’on  range 
d’après  l’ordre  descendant  de  grandeur  les  différentes 
Valeurs  de  A et  de  £,  en  écrivant  pour  plus  de  clarté 
chaque  h autant  de  fois  de  suite  qu’il  y a de  racines  y 
du  degré  A,  c’est-à-dire  7’  fois,  et  de  même  chaque  e, 
fi  fois,  et  plaçant,  en  cas  d’égalité  d’un  A avec  un  f,  le 
premier  avant  de  second;  il  n’y  a qu’à  compter  combien 
de  A suivent  chaque  £,  et  combien  de  e suivent  chaque  A. 
Or  il  est  facile  de  voir  que  le  nombre  des  e qui  suivent 
un  A quelconque,  c’est-à-dire  A^,  est  m — 0^,  en  pre- 
nant 0y  précisément  dans  le  sens  qu’il  a dans  l’expres- 
sion II  de  g.  En  effet  étant  moindre  que  et  plus 
grand  que  ^^4,1  ou  égal  à fy  + i,  les  e qui  suivent  A^ 
seront  , fy  + 2...fy,  écrits  respectivement  chacun 
fiy  + yi  fiy+^...fij-  fois.  Mais  on  a 
(m  — 0y)  -{-  aß^  — (m  — 0y_^j)fy  + j -}-  . .. 
X 
("î  — 0/-i)fy  + = et  /7v-|-i  = 0y4-i  — 0y, 
Pv+2  — ^y-f-2  ^y-f- 11 P J — ^/— lî 
par  conséquent 
■ — ■ 7 -r\  J 
fir^\‘+fiy^2-{^  ...  +fij  — m — 8^-,  c.  q.  f.  d. 
De  même  le  nombre  des  A qui  suivent  un  e quelconcpie, 
qui  soit  fy,  est  n — ■ Xp,  Ap  étant  pris  dans  le  sens  précis 
de  la  formule  I ; car  f ^ étant 
Ap,  et  Ap_j_  j , 
les  A qui  suivent  sont  Ap_j_j  Ap_j_2...A;,  dont  le 
nombre  est 
^'p-h  1 4-  f’p-i-  2 + • • • + 
Ramassant  ces  remarques,  on  parvient  à une  nouvelle 
expression  de  g,  savoir 
c ' 
g—na^-^-mb^  + E 5 ,■  A J (HI) 
les  sommes  Indiquées  par  E étant  exactement  les  mêmes 
qu’elles  sont  dans  les  formules  I et  IL 
Comparant  I et  II  à III  on  trouve  ^ 
y=i  y=j 
^ ('V  %)  — na,-)rES  (n  - X)  fi  e^, 
7=1^ 
Ê (fi^  b^  ) =1:  ni  2:  J (m  _ 0^)  r A ^ ; 
P y-\ 
et  une  nouvelle  expression  de  g,  savoir  : 
D après  cette  formule  remarquable  le  degré  de  l’é- 
quation finale  en  x est  la  somme  des  degrés  de  quel- 
ques-uns des  coefficiens  polynomiaux  en  x des  deux 
