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DE  L’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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équations,  savoir  de  ceux  qui  appartiennent  aux  termes 
dont  on  tire  pour  chaque  racine  rj  ou  y les  degre's  en 
X des  fonctions  cp(x,ri)  et  r)i  ^ étant  racine  de 
l’équation  y(a:,  ?j)zzO,  et  racine  de  Si 
ces  degrés  de  cp  {x,  rj)  et  de  f (x,  y)  peuvent  provenir 
de  plusieurs  termes,  .on  évite  toute  ambigüité  enj  choisis- 
sant toujours  dans  l’un  des  polynômes  f ei  cp,  parmi  les 
différens  termes  admissibles,  celui  qui  approche  le  plus 
de  la  droite,  et  dans  l’autre,  le  terme  le  plus  approchant 
de  la  gauche. 
Ainsi  dans  l’exemple  numérique  proposé  ci-dessus  on  a 
y=i 
^ ) — ^0 ~}~ ^^4  d“  -[-2.10  -j-  3.10-j-6izi62 
y=\  *' 
r(p  ^>2)  -|-2Z>i  4-4^6=;2.8-i-2  8-I-4.4ZZ  48 
y=l  ? 
d’où  62 -f- 48  ~ 1 10. 
Dans  l’article  cité  déjà  plusieurs  fois  j’ai  fait  re- 
marquer, qu’en  éliminant  x des  équations  proposées 
/ = 0 et  ^~0,  le  degré  g'  de  l’équation  finale  en  y 
sera  toujours  égal  à celui  de  l’équation  finale  en  x,  ou 
bien  on  aura  g'  — g,  si  (x^o)  et  (x^o)  n’ont  point  de 
facteur  commun,  et  si  la  mênie  condition  a lieu  par 
rapport  aux  coefficiens  des  plus  hautes  puissances  de  x 
des  mêmes  équations  ordonnées  d’après  les  puissances 
de  X.  Cette  proposition  est  une  conséquence  toute  simple 
de  ce  qu’avec  les  conditions  énoncées,  toutes  les  solu- 
tions du  système  proposé  sont  nécessairement  finies , 
c’est-à-dire  contenues  toutes  dans  des  valeurs  finies  de 
X et  y on  peut  cependant  désirer  une  démonstration 
plus  approfondie  de  ce  théorème  qui  fasse  voir  les  cir- 
constances qui  entraînent  la  proposition  énoncée. 
Pour  ordonner  d’après  x le  polynôme 
<p~  4-  {x:^^)i 
considérons  la  suite  des  nombres  . . . . continuée 
jusqu’à  un  certain  terme  b^  dont  le  caractère  consiste  à 
être  plus  grand  que  tous  les  termes  précédens'et  non 
moindre  qu'aucun  des  termes  suivans 
Après  avoir  ainsi  déterminé  b^,  cherchons  dans  la  suite 
^0  ^1  1 nombre  bf.  plus  grand  que  tous 
:eux  qui  le  précèdent  à gauche  et  non  moindre  qu’aucun 
les  nombres  qui  le  suivent  à droite,  savoir  j ... ; 
:herchpns  ensuite  dans  la  série  b^b^..  b^^  _ ^ le  nombre  b^^ 
dus  grand  que  tous  ceux  qui  le  précèdent  et  non  moindre 
qu’aucun  de  ceux  qui  le  suivent  dans  cette  série,  et  conti- 
nuons ainsi  jusqu’à  ce  que  nous  parvenions  au  premier 
terme  b^,  qui  sera  le  dernier  de  la  suite  bjbf^  K.-K- 
Cela  posé  le  polynôme  p ordonné  d’après  x contiendra 
nécessairement  les  ternies  suivans 
(«)  [f  * • * • ( j”)  » 
( y'“)  désignant,  comme  toujours,  un  polynôme  du  degré  g. 
Représentons  encore  par  le  même  signe,  augmenté  d’un 
point  au-dessus,  savoir  par  polynôme  en  jy  dont 
le  degré  puisse  être  ou  égal  à ^ ou  moindre  que  g\  le 
polynôme  p ordonné  d’après  les  puissances  descendantes 
de  X,  prendra  la  forme  suivante: 
V = (/'-')  J’- + (;«-')  J>r^+ ... 
+ (/-'>)  A +(;"-'=)  A-' + .. . 
où  les  termes  intercalés  entre  et  après  les  termes  dé- 
signés ci-dessus  par  (a)  ont  été  marqués  tous  par  des 
points,  les  degrés  de  leurs  coefficiens  pouvant  être 
moindres  que  les  exposans  respectifs,  contenus  sous  les 
paranthèses  ou  tout  au  jilus  égaux  à ces  exposans. 
Il  est  d’abord  clair  qu’aucun  des  termes  intercalés  qui 
précèdent  (/”)  ne  peut  être  un  terme  principal  de 
l’écuiation  ^ozizO  ordonnée  d’après  x,  et  que  les  termes 
principaux  de  cette  équation  sont  tous  compris  parmi 
les  termes  désignés  (a),  ou  parmi  ceux  qui  suivent 
(^y^  ) dans  l’équation  précédente.  Il  est  encoi’e  évi- 
dent que  {^y^^  x^^>  (jt”)  x^o  et  le  dernier  terme 
seront  toujours  des  termes  principaux  de  l’équation  93  ~ 0 
rapportée  ci-dessus.  Maintenant  nous  allons  démon- 
trer que  si  j x^^r  est  un  des  termes  (a)  (à  l’ex- 
ception du  dernier  et  à la  fois  un  terme 
principal  de  l’équation  p~0  ordonnée  d’après  les  x,  l’ex- 
pression représentera  un  terme  principal 
de  la  même  équation  ordonnée  suivant  les  y,  et  ré- 
ciproquement. 
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