283 
Bulletin  physico -mathématique 
284 
En  effet,  soit  le  terme  principal  qui  soit 
le  précédent,  dans  l’équation  9 ~ 0 ordonnée  d’après 
les  et  soit  s le  degré  de  x qui  résulte  de  la  com- 
paraison de  ces  deux  termes  principaux  consécutifs,  de 
sorte  qu’on  ail 
— ^iv  • ~ 
t • ' • , , . , 
il  est  clair  que  la  valeur  de  s sera  positive,  puisque  v 
étant  "^v,  on  a et  Soit  encore  a le 
nombre  des  racines  x de  cp~0  du  degré  s,  on  ,a 
a~b,  b,  /. 
ly  >V 
Cela  posé , on  a d’après  les  propriétés  des  termes  prin- 
cipaux U ^ bf^.  K — si  w est  un  nombre  comjnis 
entre  v et  v',  par  conséquent  entre  et 
.u^bf^.s  n — si  IV  est  hors  des  limites  v et  v', 
IV  étant  un  des  nombres  0,  1 , 2,  . . d,  et  — t^  — 0, 
le  nombre  des  termes  (a)  étant  supposé  ~ ô -j- 1.  En 
divisant  par  s et  mettant 
étant  terme  principal  de  9 ordonné  suivant  les  .r.  La  pro- 
position réciproque  aj^ant  lieu  également,  concluons  que  si 
(/')/-'  (5) 
représentent  la  suite  des  termes  principaux  de  9,  or- 
donné suivant  les^,  continuée  jusqu’au  terme  ^ 
dont  le  caractère  consiste  en  ce  qu’on  Sib^'p^b^  si  Q <C.t 
et  bfP  Q si  qP>  t-^  qu’alors  les  termes 
(/■-')  (/')  Jo  (0) 
formeront  la  suite  des  termes  principaux  de  9 ordonné 
d’après  lésa:,  continuée  seulement  jusqu’au  terme 
La  comparaison  des  termes  (b)  donne  les  degrés  posi- 
tifs des  racines  y de  l'équation  9~0,  et  les  termes 
principaux  suivans  de  cette  écpiation,  omis  dans  la  série 
donnent  tous  les  degrés  positifs  des  racines  x de 
l’équation  9 ~ 0. 
on  obtient 
/ {n  — t„)  h -f  bf^  — (ti  — h -f  3/^/  ~ u , 
u' "P  (ji  — tP)  h b(^,  si  IV  est  entre  v et  v' 
U P (n  — tp  h bf^,  si  iv  est  bors  des  limites  v etu'. 
Soit  ç un  nombre  quelconcjue  de  la  série  1,  2,  3 ...n, 
mais  non  compris  dans  la  suite  t§  t,  dont 
le  dernier  terme  t est  moindre  ou  tout  au  plus  égal  à n. 
Si  q est  entre  et  j , c’est-à-dire  si 
on  a à la  fois  b^<^b/^.,  par  conséquent, 
puisque  par  bypotbèse 
u'X« on  a a' >(/z  — p)  A -I- 
î)  ■ ^ ^ 
Si  Q est  plus  grand  que  ou  t,  on  ab^<^b(,  et  puisque 
par  hypothèse 
U P (/i  — t)  h bi,  on  a encore  u'P{n  — ç)  h -{■  b^. 
Il  est  démontré  par  là  que  le  terme 
se  rencontre  nécessairement  dans  l’équation  9 rz  Oi  or- 
donnée d’après  les  jy,  en  est  aussi  un  terme  principal. 
Soient  les  degrés  positifs  contenus  dans  ïa 
suite  h^h^...hi,  les  degrés  restans 
étant  zéro  ou  négatifs,  et  rappelons  nous  que  l’équation 
9~0,  résolue  d’après  y',  a racines  du  degré  A, , . ..r^ 
racines  du  degré  A^;  je  dis  que  la  même  équation,  lé- 
solue  d’après  x,  aura  /q  Aj  racines  du  degré 
1 1 
racines  du  degré  y~  > ' ' ' ‘ racines  du  degré  > et 
que  toutes  ses  racines  restantes,  s’il  y en  a,  seront  de 
degrés  ou  zéro  ou  négatifs. 
En  effet,  on  avait  ci-dessus  pour  déterminer  le  degré 
5 de  X en  J ; (A/^  — A/^/)  s — t^  — et  u — b,^  — A^y 
a étant  le  nombre  des  racines  x du  degré  s.  De  même 
on  a pour  déterminer  A : (ty  — ly>)  A zz  bf^  — A/^/  et 
r~ty  — tyf"  au  nombre  des  racines  du  degré  A;  par  con- 
séquent G ~ rh  et  5ZZ  y-  ; ainsi  la  partie  principale  de 
la  proposition  est  vérifiée,  et  le  reste  est  clair,  puisque 
la  comparaison  des  termes  et  des  suivans  jus- 
qu’à {y^'^  ne  peut  donner  que  des  degrés  iz:  zéro  ou 
■ fl 
négatifs. 
Cela  posé,  supposons  que  le  système  proposé 
/ = (x“.)/"  4-  (x'-'  ) J™-  * + • • • + . 
— )=;0, 
