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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
se  transforme  en  ordonnaiit  d apres  les  -x , en 
f — ^ • “P  {y^^)  — ^ ’ 
h(/^'')  :=:  0 
Nous  admettons  que  (■^^°)  et  (-^^°)  n’ont  point  de 
facteur  commun,  mais  pour  que  (/^®)  et  ne 
soient  pas  tous  deux  divisibles  par  j,  il  faut  encore 
qu’on  ait  ou  jU  — ou  y — b„-^  supposons  donc  — 
pouvant  être  e'gal  a r ou  moindre  que  y;  enfin  il 
faut  qu’on  ait  ou  a^IZZm  ou  ßy"^n,  car  si  aucune  de 
ces  conditions  n’avait  lieu , et  seraient  tous 
deux  divisibles  par  x. 
Puisque  — l’e'cpiation  / ~0  n’a  point  de  raci- 
nes y de  degrés  négatifs;  quant  à l’équation  <p~0,  soient 
h^.. . hy  les  degrés  positifs  de  ses  racines  y,  les  au- 
tres degrés  . .h-,  s’il  y en  a,  étant,  le  pre- 
mier ou  zéro  ou  négatif,  les  suivans  tous  négatifs.  Si  b 
est  un  des  degrés /q  /q  ^-hy,  le  degré  k qu’acquiert/ en  y 
mettant  au  lieu  de  y une  racine  y de  9)  “ 0 du  degré 
h,  s’exprime  par  la  formule  Ä ~ {in  — t)  /i  -f-  <q,  t 
devant  être  choisi  convenablement  parmi  les  indices 
0 0^  02  • • • 1 *1“*  appartiennent  aux  termes  princi- 
paux de  f.  Si  h est  zéro  ou  négatif  il  est  clair  qu’on 
a k~a„^~  fl.  Avec  ces  élémens  on  obtient  le  degré 
de  l’équation  finale  en  x:  g — + • •4“ 
••4-^y  (("î  — + + ('VH-l  + 'V-t-Z  + ’-'  + G')«/«- 
Mais  le  nombre  des  racines  de  degrés  négatifs  est  évi- 
demment /?o,  ou7’y^j -f  ry^^-j-..-l-/viz:/5o;  par  con- 
séquent on  a 
g~mb^  4“  4~  ^’i  (("*  — *i)  b^-\-  . . . 
•"  + ry(^{rn-ty)hy-\-at^^> 
De  1 autre  côté  les  racines  x de  9 ~ 0 se  partagent, 
omme  on  a vu,  en  r.  h.  du  degré  . rb  du 
° h-.  Il 
I ^ 
.egré  — ; les  degrés  des  racines  restantes,  s’il  y en  a, 
sront  tous  zéro  si  ou  bien  zéro  ou  négatifs  si 
n<y.tn.  Or  on  voit  tout  de  suite,  que  si  (m  — t)h-\-ai 
sprime  Je  degré  de  f pour  xme  valeur  de  ^ en  a:  du 
degié  h,ai'  ---\-m  — t sera  le  degré  de  f pour  une 
1 
valeur  de  a:  en  du  degré  — , t étant  précisémant  le 
même  nombre:  de  plus,  pour  une  racine  x d’un  degré 
~ zéro  ou  négatif,  le  degré  de  f en  y devient  m si 
~ m ; mais  si  m ; il  faut  qu’on  ait  “ /z  ; dans 
ce  cas,  il  n’y  a pas  des  racines  x de  degrés  négatifs  de 
l’équation  9~0,  et  quant  aux  racines  de  degré  zéro 
elles  font  toujours  le  degré  de  / égal  à m.  Remarquant 
encore  que  le  nombre  des  racines  x de  degrés  ~ zéro 
ou  négatifs,  de  l’équation  9~0,  est  et  nous  aurons 
2)Our  le  degré  g'  de  l’équation  finale  en  y l’expression 
S'  — H-ßo  + A"'”  — 5^  4- 
'2  K ^ " ^2  ? + — 
. .Tyhy  \^ty‘Y^  4“  4 S 4“  '”  ^0  5 
valeur  qui  coincide  précisément  avec  celle  de  g ; c.  cp  f.  d. 
On  peut  encore  désirer  d’avoir,  dans  tous  les  cas,  le 
nombre  des  solutions  finies  que  comporte  le  système 
proposé.  Pour  cela  je  ferai  d’abord  remarquer  que,  si 
l’on  veut  avoir  égard  à des  relations  particulières  qui 
peuvent  exister  entre  les  coefficiens  numériques  des  équa- 
tions proposées,  — ce  que  nous  n’avons  pas  fait  dans 
ce  qui  précède,  il  faut  faire  attention  à ce  cpi’il  y a d’au- 
tres systèmes  tels  que  -j- ;«  9'' iz;  0 . 9ZZO,  (5  étant 
un  entier  dilférent  de  zéro,  et  fi  un  coefficient  numérique 
quelconque)  équivalents  au  système  proposé,  et  qu’il 
faut,  par  conséquent,  faire  un  choix  entre  ces  systèmes 
pour  obtenir,  par  la  formule  yjx~0,  le  vrai  résultat  de 
l’élimination  dej^.  Donc  pour  éviter  tout  embarras  à cet 
égard,  je  suppose  les  équations  / “O,  rp~0  telles  qu’il 
soit  impossible  de  choisir  un  exposant  s et  un  coeffi- 
cient fl  de  manière  que,  l’une  des  équations  étant  9 — 0, 
l’autre  équation  transformée  en  J" soit  d’un 
degré  moindre  c[ue  celui  de  _/  par  rapport  à l’une  des 
quantités  x et  y,  sans  être  à la  fois  d’un  degré  supé- 
rieur à celui  de  J"  par  rapport  à l'autre.  En  d’autres 
termes,  si  l’on  peut^  en  ajoutant  fup^ , abaisser  le  degré 
de  y par  rapport  à x (ou_y),  sans  l’élever  à la  fois  par 
rapport  a y (ou  x),  je  suppose  cette  opération  achevée 
et  qu’il  soit  impossible  de  la  répéter  de  nouveau.  Je 
suppose,  en  outre,  les  deux  équations  dégagées  de  facteurs 
communs;  car  si  un  tel  facteur  avait  lieu,  qui  contint 
par  exemple,  la  valeur  de  x serait  évidemment  indéter- 
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