83 
Bulletin  physico-mathématique 
84 
X zzi  cos  ö -j- sin  0 , 
j'  — — X sin  Ö -j- JT  cos  Ô; 
folglich 
f x' y'  dm  ~ sin  d cos  d (B  ~ -j-  c (cos  0^  — sin  0^)  ZT 
sin . 2 Ö H“  ^ ^ 
Setzt  man  demnach 
cotg-2özi:^-^, 
welches  für  0 immer  mögliche  Werthe  giebt,  so  erhält 
man  : 
f x'y'  dm  ~ 0 , J'y  z d m~0 , Jzx'  d m~0. 
Folglich  sind  in  diesem  Falle  alle  drei  Coordinatenaxen 
der  x\  j',  z'  freie  permanente  Axen. 
Da  also  in  dem  Falle,  dass  es  eine  freie  permanente 
Axe  giebt,  zugleich  zwei  andere  auf  einander  und  auf 
jene  senkrechte  vorhanden  sind , und  wenn  man  dieselbe 
als  Coordinatenaxen  der  x' , y',  z betrachtet, 
f y'  z dmzz:  f z'  x'  dm~x  j'  dm~^  wird; 
so  wollen  wir,  um  das  Dasein  oder  Nichtdasein  einer 
solchen  Axe  in  jedem  beliebigen  Körper  nachzuweisen, 
untei'suchen  : oh  es  allgemein  für  jeden  Körper  eine 
solche  Lage  der  Coordinatenaxen'  x'\  y',  z!  giebt,  die 
den  drei  letzten  Bedingungsgleichungen  genügt.  Beim 
ersten  Anblick  scheint  dieses  weit  schwieriger,  als  hlos 
zweien  von  diesen  Bedingungen  zu  genügen;  es  zeigt 
sich  aber,  dass  man  durch  die  Gleichförmigkeit  in  Be- 
ziehung auf  alle  drei  Axen  an  Zierlichkeit  und  Einfach- 
heit der  Auflösung  weit  mehr  gewinnt,  als  auf  der  an- 
dern Seite  verloren  wird. 
Es  sei  in  Beziehung  auf  ein  beliebiges  Axensystem, 
wenn  die  Integrale  über 
werden  : 
den  ganzen  Körper 
ausgedehnt 
/ XX  .dmzzi  M , 
fyzdmznm,  ' 
1 
f y y . dmzzz  JAl' , 
f zx  dm  ~ in  , 
(1) 
f z z . dm  ~ M" , 
f oc y d m ~ m" , J 
1 
Die  Coordinaten  auf  die  drei  freien  parmanenten  Axen, 
wenn  es  solche  giebt,  seien  x'  y'  z\  und 
fx'x'dm~N,  f y' z'  dm~{i  , \ 
fy'y'dm~N'  f z' x' dm~(i , i (2) 
f z'z'  dm~N"  fx'y'dm~0,  ) 
ist: 
(4) 
(3)’ 
•^^-j-jy+zz:=xx  -j-yy  -f 
aa  -|-  a'a'  ci"a"  zi  1 , 
f y + / / + y"r"  :=  i , 
ßr  + =0, 
y a y"a"  ~ 0, 
aß  -i-a  ß'-\-cc"ß"  =0, 
Mulliplicirt  man  die  Gleichungen  (3)  der  Leihe  nach, 
I.  mit  a,  a , a";  IL  mit  ß,  ß\  ß" III.  mit  y,  y',  y"; 
addirt  je  drei  Producle  und  berücksichtigt  die  Gleichun- 
gen (4) , so  erhält  man  : 
x'  zz.ax  -\-  a'  y -j-  a"  z , 
y '=:ßx  +ß'y  -^ß"z, 
z'  = yx -i- y'y y"z, 
Aus  dem  bei  den  Gleichungen  (3)  angeführten  Grunde 
wird  ebenfalls  hier: 
a a -h  ß ß -fyy  =1, 
a a Ar  ß ß +yy  =1, 
a a ß ß +yy  — l , 
a a"  -f  ß'  ß"  -\-y  y"  —0  , 
a"a  ß" ß + y"y  ~ 0, 
a a ß ß'  A- y y — 0 , 
Substituirt  man  nun  in  die  Gleichungen  (I)  die  Werthe 
von  X,  y,  z aus  (3)  und  bc lücksichtigt  dabei  die  Glei- 
chungen (2),  so  folgt: 
1)  M —a  a IV-\- ß ß N' ^y  y N\  x 
M'  —a'aN-{-ß'ß’N'-^yy'N'\  J 
M"  — aaN-A  ß” ß" N’  -f-  yy" N"  , 
m — a'  a!'  IV ß'  ß" N'  y'  y"  N" , 
m'  ~a  a N ß" ß N'  A- y" y N'\  \ 
m"  zu  a a'  /Y-\-  ß ß'  JV'  -\~7  y'  i 
Multiplicirt  man  I.  1)  mit  a,  5)  mit  6)  mit  a', 
II.  2)  mit  a',  4)  mit  a",  6)  mit  a;  III.  3)  mita",  4)  mit 
a',  5)  mit  a;  und  addirt  die  Producte  zu  je  dreien,  so 
erhält  man  mit  Berücksichtigung  der  Gloichungen  (4): 
a Af  -f-  a'  m"  -f-  a"  m'  ~ a JV, 
a m"  ß-  a'  M'  -j-  a m ~ a JV, 
a ni  a'  m -j- a" N, 
und  ähnliche  Gleichungen  für  ß , ß' , ß",  iV';  y,  y',  y",  N'[ 
statt  «,  à , a,  JV 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
(5) 
(6) 
Es  seien  die  Relationen  zwischen  den  Coordinaten 
x',y,  z und  x',y',  z'  folgende: 
xzzia  x'  ß y -\-y  z' , \ 
y = a'x'-^ß'y  + r'^'^  (3) 
2 Z=  a"x'  ß"y'  4-  y"z' , ) 
Daraus  folgt,  da  allgemein  " ” 
Eliminirt  man  a,  a,  a"  aus  diesen  drei  Gleichungen, 
so  ergiebt  sich:  ’ 
(iY— Af)(iV— Af')(iY— A/")  — A/)—  " 
Af')— A/")—  ' 
2m.m'.m"zz:0  (7) 
eine  Gleichung  vom  dritten  Grade  in  Beziehung  auf  JV. 
