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DE  l’Académie  de 
Man  übersieht  ohne  weiteres,  class  man  dieselbe  Glei- 
chung in  Beziehung  auf  N und  iV’  erhält,  wenn  man 
sie  aus  Gleichungen  ableitet,  die  aus  den  Gleichungen 
(5)  durch  Multiplicalionen  mit  ß,  ß',  ß"  ; y,  y ' statt 
ß,  ß',  ß"  sich  ergeben.  Es  sind  also  iE,  JV',  N"  die  drei 
Wurzeln  der  cubischen  Gleichung: 
{x  — M)  (x  — M')  fjc  — A/")  — — M)  — 
{x  M'  ) — m {x  — M '^  ) — 2 m ni' . ni  ~ 0 (8) 
Ist  m~m  zz;m^'’~0,  so  sind  il/,  M"  die  drei 
Wurzeln  der  Gleichung.  Im  entgegengesetzten  Falle  sei 
m nicht  verschwindend,  welches  man  immer  durch 
Vertauschung  der  Goordinaten  erlangen  kann.  Seien  u 
und  u die  beiden  AVurzeln  der  Gleichung 
{x  — il/)  (x  — ßl')  — ~ 0, 
die  reell  und  verschieden  sind,  und  von  denen  die  eine 
u kleiner  als  ßl  und  ßl  ist,  die  andere  il  grösser,  da 
der  Werth  der  Gleichung  für  x — — oo  positiv,  für 
X ^ — d/und  ßl  negativ,  und  fürx  ~ -f-  00  wieder  posi- 
tiv ist.  Setzt  man  in  die  Gleichung  (8)  für  x den  Werth 
u,  so  wird  ihr  Werth,  da  M—u  und  M'  — u positiv 
sind,  und  m"  — ± Y{ßl—  — ist: 
rirtßiM — u)  -\-m  — u)  Zjl  2mm^]/  [ßl—u)  {^ßl'  — i/,)  — 
^m  y ßl—uZ^  m Y 'ßY  — 
den  einzelnen  Fall,  wo  m yßl~  u ijz  m Y M'  — m = 0 
ist,  ausgenommen , eine  positive  Grösse.  Für  x — u wird 
der  Werth  der  Gleichung,  da  u — ßl  und  u — ßl'  po- 
sitiv und  m"  — ± Yiii'—ßl)  ßl')  wird: 
— m®  {ii  — ÆT)  — m'^  («'  — A/') 
Ifl  2mm'  Y {ii  — ßl)  {ii  — ßlß  — 
— ^m  y u'  — ßj^  m y u'  — ßl' 
den  Fall,  wenn  m y«'  — ßj-ß^  ffi'  Yu  — ßl'  — 0 aus- 
genommen, eine  negative  Grösse. 
Da  demnach,  wenn  man  die  beiden  Fälle  ausnimmt, 
wenn  m V Af — « ^ m'  y Ai'  — u — 0 und 
m yn'  — ßlßzni'  y«'  — ßl'  — 0 , 
die  Gleichung  (8)  für  o:  — — 00  negativ,  für  x~u  po- 
sitiv, für  xzr.li  negativ,  und  für  x — -j-  00  positiv 
wird;  so  hat  die  Gleichung,  die  erwähnten  Fälle  ausge- 
nommen, drei  verschiedene  reelle  Wurzeln,  eine 
kleiner  als  m,  eine  zwischen  u und  u und  die  dritte 
grösser  als  u'. 
Ist  m Y u ßl  ßz  Tx!  Y u'  — ßl'  — 0,  nicht  aber 
n^Y M u-\rTti'YM'  — «,  so  hat  die  Gleichung  eine 
Saint-Pétersbourg. 
reelle  Wurzel  kleiner  als  cc,  die  zweite  n';  so  dass  also 
auch  die  dritte  reell  ist. 
1st  viY  ßl  ■ u -+-  m'  Y ßl'  — H ~ 0,  nicht  aber 
m Yu'  — ßl±  m Yu'  — ßl'  ; so  ist  u eine  Wurzel  der 
Gleichung  (8),  und  da  überdies  eine  reelle  Wurzel 
grösser  als  u'  ist;  so  muss  auch  die  dritte  reell  sein. 
Dasselbe  gilt  auch  von  dem  Fall,  wenn  beide  Grössen 
m Y ßl—  u m'  Y M'  — u — ^ und  m Y^'  — ßl ßz 
m Yu  — ßl  — 0 sind,  da  beide  u und  ii'  EEurzeln 
der  Gleichung  (8)  sind,  mithin  auch  die  dritte  Wurzel 
reell  wird. 
Sind  zwei  Wurzeln  der  Gleichung  (8)  einander  gleich, 
welches  wie  eben  gezeigt  ist,  nur  Statt  finden  kann, 
wenn  die  eine  Wurzel  derselben  zugleich  eine  Wurzel 
der  Gleichung  {^x  — A/)  {x  - ßl' ) — m" .m"  — 0 ist, 
vorausgesetzt,  dass  m"  nicht  verschwindet,  so  sind  jene 
beide  Wurzeln  dieser  Wurzel  gleich.  Denn  es  sei  die- 
selbe u,  so  hat  man,  da 
(x  — A/)  {x  — ßl')  — m" . m"  zr.x  — uß{x  — u) 
ist,  und  die  Gleichung  (8)  durch  u theilbar  sein  muss  : 
{x  — ii)  {x  — u')  {x  — ßl")  — ' min  m'  in)  Çx  — n)  ~ 0. 
Die  l)eiden  übrigen  Wurzeln  der  Gleichung  (8)  sind 
demnach  die  Wurzeln  der  Gleichung: 
(a:  — u')  {x  — ßl")  — in  in  — in'  m'  ~ 0, 
die,  wenn  nicht  m~m'rrO,  immer  verschieden  sind. 
Es  muss  also,  wenn  in  diesem  Falle  die  Gleichung  (8) 
zwei  gleiche  Wurzeln  hat,  eine  der  u gleich  sein.  Ist 
m~ni'  so  sind  u'  und  ßl"  die  beiden  übrigen; 
da  u und  u'  aber  unter  den  angenommenen  Bedingungen 
immer  verschieden  sind,  so  muss,  wenn  die  Gleichung 
(8)  zwei  gleiche  Wurzeln  hat,  ßl"  mit  u oder  u glei- 
che Grösse  haben.  Die  beiden  gleichen  Wurzeln  der 
Gleichung  (8)  sind  demnach  immer  einer  Wurzel  der 
Gleichung  (x  — ßl)  {x  — ßl')  — m" . in"  ~ 0,  oder  der 
beiden  analogen,  durch  Vertauschung  der  Coordinaten- 
axen  entstandenen  Gleichungen , in  denen  in"  nicht  ver- 
schwindet, gleich:  wie  zu  Anfänge  des  Satzes  behauptet 
wurde. 
Alle  drei  Wurzeln  der  Gleichung  (8)  können  nur 
gleich  sein , wenn  in  ~ in  zr  in"  n 0 sind  : da , wie  schon 
gezeigt  ist,  wenigstens  eine  dieser  Wurzeln  von  den 
beiden  übrigen  verschieden  ist,  wenn  nicht  alle  diese 
Grössen  verschwinden. 
Je  drei  zusammengehörige  Hauptmomente  in  Bezie- 
hung auf  drei  auf  einander  senkrechte  freie  permanente 
