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Bulletin  physi go -ma thématique 
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Axen,  die  immer,  wenn  eine  vorhanden  ist,  zugleich 
Statt  finden,  haben  also  in  jedem  Körper  drei  bestimmte 
reelle  Werthe.  Es  muss  noch  gezeigt  werden,  wie  die 
Richtung  einer  jeden  derselben  bestimmt  werden  kann. 
Die  Richtune  der  Axe  der  x wird  durch  die  Grössen 
a,  a bestimmt,  die,  wie  nach  der  Theorie  der  recht- 
wirdilichten  Coordinaten  aus  den  Gleichungen  (3)*  er- 
hellt, die  Cosinusse  der  Winkel  derselben  mit  den  Axen 
der  JT,  j,  z bezeichnen.  Eben  so  bezeichnen  /?,  ß\  ß"  die 
Cosinusse  der  Wfinkel  der  Axe  der  > ' und  y,  y\  y die 
Cosinusse  der  Winkel  der  Axe  der  z mit  denselben  Axen. 
Die  Grössen  a,  a , v!'  findet  man  unmittelbar  aus  den 
Gleichungen  (fi)  mit  Zuziehung  der  Gleichung 
aa a'a' a" a"  ~ l.  Es  konnte  scheinen  als  wären 
die  drei  Grössen  durch  vier  Gleichungen  überbestimmt; 
allein  die  Grösse  A^ist  mittelst  der  cubiscben  Gleicbung  so 
bestimmt  worden,  dass  eine  der  drei  Gleicbuugen  in  den 
beiden  andern  entbalten  ist.  Die  vier  Gleichungen  gelten 
demnach  nicht  mehr  als  drei  von  einander  unabhängige 
Alle  aus  den  Gleichungen  (fi)  zur  Bestimmung  von 
a,  a' , a"  abgeleitete  in  Beziebung  auf  diese  Grössen 
lineäre  Gleicbuugen,  lassen  sieb  unter  folgende  Form 
darstellen  : 
a ^ fl  (T/  — JV)  fl'  m"  -f  fl"  in'  ^ -|- 
a '^fi  in"  -| - fl'  (JS'l'  — N)-\-  fl'  in ^ + 
a"  ^ fl  in'  -j-  fl'  m -f-  fi"  {ßl"  — iV  ) ^ ~ 0 , (9) 
in  der  /r,  fi  ^ fi  willkürliche  Grössen  bezeichnen.  Sie 
entsteht,  indem  man  die  erste  der  Gleichungen  (G)  mit 
,it,  die  zweite  mit  fi  , und  die  dritte  mit  fi  multiplicirt, 
und  die  Producte  addirt. 
Diese  Gleicbung  bestimmt  die  Relation  zwischen  «und 
wenn  man  die  Grossen  /z,  fi' , fi"  so  bestimmt,  dass 
der  Coef.hcient  von  a"  verschwindet.  Die  allgemeinsten 
Formen  von  fi,  fi',  fi  , die  dieser  Bedingung  genügen, 
sind:  fi~vin — -v' (^M" — iE);  fi'  ~v"  [3l" — iV)  — rm"; 
fl  ~v'm'  — v"  in,  wo  v,  v',  v"  beliebige  Grössen  be- 
zeichnen. Die  daraus  folgende  allgemeinste  Form  der 
Relation  zwischen  ß und  a'  ist: 
(x,'^{in{  M- — N')  - in  in"')  — p'  { ( M — N)  ( M" — N)  — in'  m'^ 
v"  {in  {M"  — N']  — nim'^  ^ — 
a^p{m'  { M' — N)m  m ""j  p (in"  {M" — iF)' — mni') 
_ /'(( M'  — N'){M"  — N)  — m m )\-  (10) 
Die  allgemeinsten  Formen  der  Grössen  fi,  fi,  fi\  für 
die  der  Coefficient  von  a'  in  der  Gleichung  (9)  ver- 
schwindet, sind: 
fl  (^M'  — iV")  — v^'  Ulf 
1 //  // 
fl  Vj  m — m ; 
" 1 11  11  r ir' 
fl  in  — r'j  [3J  — A), 
und  die  daraus  folgende  allgemeinste  Relation  zwischen 
1 11  ^ ° 
a und  a : 
« J -Vi{(M-N){M'-N)  -m"m'i)  -f  vß[iit(M-N) 
— JV) 
a"  j Vy  zV,  — mm")  v yßm" {M"  — N)  - mmi) 
Vy"  ((^/'-  N {M"~  JV)  - m m). 
Endlich  sind  die  allgemeinsten  Formen  derselben  Grössen, 
für  die  der  Coefficient  für  a verschwindet:  ii=v^m" — vßm\ 
fl  in —V — N)-,  p"  = vß{J\I— JS) —vß m"-,  und  die 
daraus  folgende  allgemeinste  Relation  zwischen  a'  und  ct"  : 
a^  — V2{yJ\I—JS){M' — N)  — m"m")  -\-vß(m  {M — JSr)—m'm”)  -|- 
vß  (»ö  (:W  - JT)  - m m")  ~ 
a''^v^{in{ßI-N)-in'm")-vß{ßM"-N)(M-N)-m' m')^  ^ 
vß‘  {ill'  (AI" — N)  — min'). 
Es  ist  leicht  ersichtlich,  aus  den  Gleichungen  (10),  (11), 
(12),  dass  die  Verhältnisse  der  Grössen  a,  a,  a",  und 
mithin  diese  Grössen  selbst,  sich  nicht  durch  die  drei 
Gleichungen  (G)  bestimmen  lassen,  wenn  alle  folgende 
6 Grössen  verschwinden: 
P —{3Ï  - N)(^M"  ■ N)  — in  in, 
P'  ~{M"  N)  (d/  — N)  — ni  in  , 
P"—{M  ~N){J\f'  -N)  — ni"iii",  . 
p ~ in  [31  — -IS')  — m'  in" . 
p'  ~ III  [31  ' — N)  — iii"  m , 
p"  — in"  [3l" — A^)  — in  111 
Umgekehrt  sind  die  Grössen  a,  a , a"  völlig  bestimmt, 
wenn  diese  6 Grössen  nicht  alle  verschwinden;  denn 
setzt  man  in  die  Gleichungen  (10),  (11),  (12),  v~Vy 
V V ^ so  iindet  man; 
A a 'zjivp'  -\-v  p"  — v"  P, 
Aa  ~v  p — V p'  v"  p" , (14) 
A a 'Jiz  V F ß-  V p 1'  p , 
A — V[Aa)^  -j-  .f  (Ja")^ 
woraus  dieses  sogleich  ersichtlich  ist.  Die  beiden  Werthe 
von  A beziehen  sieb  auf  die  beiden  einander  gegenüber- 
stehenden Richtungen  jeder  Axe.  Die  Axe  der  x'  hat  in 
diesem  Falle  also  nur  eine  Richtung.  Ganz  dasselbe  gilt 
von  der  Axe  der  j-  , die  man  erhält,  wenn  man  in  die 
Gleichungen  (13)  .IV'  statt  JY ; und  von  der  Axe  der  z, 
deren  Richtung  durch  die  Wurzel  N"  bestimmt  wird. 
Der  Fall,  wenn  die  6 Grössen  (13)  in  Beziehung  auf 
eine  der  Grössen  N,  /Y  , N"  verschwinden,  erfordert 
eine  besondere  Erklärung,  da  die  Lagen  der  Axen  nicht 
durch  die  Gleichungen  (G)  in  diesem  Falle  bestimmt 
werden  können. 
Zuvörderst  bemerke  ich,  dass  wenn  in  Beziehung  auf 
die  Wurzel  IS  die  drei  Grössen  P,  P' , P"  verschvvin- 
