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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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den  , zugleich  die  übrigen  drei  p,  p' , ^ ~ 0 werden. 
Denn  es  sei  1 keine  der  Grossen  m,  m , m verschwin- 
dend. Substiluirt  man  P zz  0 in  die  Gleichung  (8),  so 
findet  man  : 
— (iV — M)  — (iV — M')  — 2 mni  m"  — 0, 
und  wenn  man  diese  mit  N — A/  multiplicirt,  und  statt 
— M')[N — M')  den  Werth  substituirt: 
— — M'Ÿ  — ni~  — 2 mm  in  {N — M')  “ 
• — ^ m (iV — A/)  -{-  m m"^'^  ~ — p~  ~ 0, 
Ebenso  wenn  man  mit  JV — M'  multiplicirt  : 
— m"^  — (_N  — 3J’Y  — 2 in  m in  (iE  — M^')  ~ 
— '^m  (iV — M'^  m'  0. 
Auf  gleiche  Weise  erhält  man  durch  Substitution  der 
Gleichung  zz  d,  p'~^,  und  ^zzO;  und  durch  Sub- 
stitution der  Gleichung  PzzO,  p'znO,  p"~0. 
Sei  2)  eine  der  Grossen  m,  m',  in'  verschwindend, 
z.  B.  mzzO.  Es  ist  in  diesen  Falle,  wenn  P~0,  ent- 
weder N zz.  M' , und  also  auch  daP^^zzO,  m^^zzO:  oder 
N~M\  und  da  P zz  0,  auch  n/zzO.  Da  also  immer 
unter  den  gegebenen  Bedingungen  zwei  dieser  Grössen 
gleichzeitig  verschwinden,  seien  diese  mzzn/ziO  und 
m nicht  verschwindend;  so  ist  N — 3l" ^ wodurch  alle 
drei  Grössen  p,  p,  p"  verschwinden. 
Da  3)  wenn  m~in'  — in"~0,  diese  drei  Grössen 
P~f~p  ~0  werden,  so  sieht  man,  dass  diese  drei 
Bedingungen  immer  mit  rlenen  P~P'zzP'~Q  zu- 
gleich Statt  finden. 
Wenn  alle  diese  Grössen  verschwinden,  und  die  drei 
Grössen  n,  a , in  Beziehung  auf  die  Wurzeln  N un- 
bestimmt kssen;  so  ist  eine  der  beiden  übrigen  Wur- 
zeln N oderiV  \ oder  beide,  der  Wurzel  iE  gleich.  Denn 
dieses  findet  in  dem  Falle  Statt,  wenn  zugleich  das  Dif- 
ferential der  tileichung  (8): 
(W—  M)  CA'—  3f)  + (iV—  M")  {N—  M)  -b 
{N — M~)  (ZT  — 3l’')  — m3  — in~'  — m3"  zz  0, 
oder  P P^  + rz  0 ist. 
Und  umgekehrt , Wenn  zwei  Wurzeln  der  Gleichung 
(8)  sich  gleich  sind^so  sind  in  Beziehung  auf  dieselben! 
a,  a"  unbestimmt  oder  P~P'~P'zzQ.  Denn 
1)  verschwindet  keine  der  Grössen  m,  m\  m'\  so  müs- 
sen, wie  schon  erwiese\  fst,  diese  beiden  Wurzeln  ei- 
ner Wurzel  jeder  der  \}leichungen  P z;  0,  P'  ZZ  0, 
P —0  gleich  sein.  Sei  eine  dieser  Grössen  mZiO, 
so  wird,  da  die  Gleichung  «)  und  P'  zz  0 diese  Wurzel 
gemeinschaftlich  haben , — A/')zz0  sein,  da  iT| 
aber  nicht  zr  A/' ist,  weil  für  diesen  Werth  P " — — m " in" 
wird;  so  muss  zugleich  m'z:0  sein,  wodurch  sich  die 
Gleichung  (8)  in  folgende  verwandelt: 
{jc  — it)  (^x  — u')  (x  — 3J")  — 0. 
Weil  n und  u' , w'enn  in'  nicht  verschwindet,  immer 
verschieden  sind,  so  muss  3l''  eine  der  beiden  gleichen 
Wurzeln  sein,  wodurch  Pz;P'iz0  wird.  Sind  3)  alle 
drei  Grössen  m zz  in' zz  in' ~0  und  zwei  der  Wurzeln 
31,  31',  31  sich  gleich,  so  verschwünden  ebenfalls  die 
Grössen  P,  P',  P . Also  ist  es  allgemein  erwiesen, 
dass  P ~ P'zz  P"iz0  ist,  w^enn  N zz  N',  oder  NzzN" . 
Da,  W'enn  zwei  der  Wurzeln  der  Gleichung  (8)  sich 
gleith  sind,  die  La^en  der  zw^ei  Axen  unbestimmt  blei- 
ben,  so  könnten  Zweifel  entstehen,  ob  in  diesem  Falle 
die  dritte  Axe,  die  sich  auf  die  dritte  Wurzel  bezieht, 
wirklich  eine  freie  permanente  Axe  sei.  Um  dieses  zu 
erweisen,  bemerke  ich,  dass,  w'enn  man  die  sechs  Grös- 
sen 31,  31' , 31,"  m , m , m"  auf  ein  anderes  Coordina- 
tensystem  bezieht,  die  Gleichung  (8)  dieselben  Coeffi- 
cienten,  und  also  auch  diesellien  Whirzeln  erhält.  Man 
verificirt  dieses  am  leichtesten,  indem  man  zuerst  die 
eine  Axe  beibehäll;  ist  es  nämlich  für  die  Aenderung 
von  zwei  Axen  erwiesen,  so  folgt  die  Richtigkeit  von 
selbst  für  jede  beliebige  Lage  der  drei  Axen;  da  man 
durch  successive  Drehung  des  Axensystems  um  die  drei 
I Axen  es  in  jede  beliebige  Lage  bringen  kann.  N^icht  so 
einleuchtend  ist  es,  dass  man  für  die  Richtung  dieser 
Axe  dieselbe  erhält,  w'enn  man  sie  in  Beziehung  auf 
zwei  verschiedene  Coordinatensysteme  bestimmt.  Indessen 
bemerke  ich,  dass  diese  Axe  zugleich  diejenige  ist,  in 
Beziehung  auf  welche  das  Integral  J'x'x'  dm  ein  Maxi- 
mum oder  Minimum  wiid.  Dift’erentiirt  man  nämlich 
diese  Grösse  (3)*  in  Beziehung  auf  a,  a',  a" \ so  erhält 
man,  wenn  man  das  Differential  zz  0 setzt: 
Ozz  fipoc  -}-  a!  y Cf"  z)  (x  da-\-jda'  -[-  zda")  dm 
0 ZZ  {a3I-\-  a' m" a!' m'')da-\-  [am" -\-d 3Ï -\-a" iii)da' 
[ani  -b  a' in  -f-  a 3'l")  da" . 
Da  zugleich  ada a'  da'  a"  da"  zzd  ist,  so  müssen 
die  drei  Goefficienten  von  da,  da,  da  , den  dreien 
Grössen  a,  a' ^ a" , proportionirt  sein,  welches  mit  den 
Gleichungen  (6)  übereinstimmt.  Die  Lage  der  Axe  der 
x'  für  die  das  Integral  f x'  x'  dm  ein  Grösstes  oder 
Kleinstes  ist,  ist  demnach  in  beiden  Fällen,  wenn  man 
sie  auf  zwei  verschiedene  Coordinatensysteme  bezieht, 
eine  bestimmte,  und  muss  daher  dieselbe  sein. 
Nimmt  man  nun  diese  Axe , die  der  Wurzel  der 
Gleichung  (8)  entspricht,  welche  keiner  der  beiden  an- 
dern Wurzeln  gleich  ist,  und  die  daher  völlig  bestimmt 
