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Bulletin  physico-mathématique 
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0 — 34  iV  — 6 IV'  — 10  N''  ; 
0 — 6 iV  + 29  A''  — 15  IV"; 
0 — 10  iY  — 15  iY'  + 13  N"  , 
woraus  folgt  : 
iY  z:  2/;  IV'  — 3 /;  N"  ~ 5f; 
worin  f unbestimmt  bleibt. 
Sei  iz;  30 , so  bat  man  zur  Bestimmung  der  dazu 
gehörenden  Goefficienten  JV^ , N^'  und  iY/'  die  Glei- 
chungen : 
0 — 4 iYj  — 6 iY/  — 10  /V/',- 
0 — 6 iY^  --  9 iY/  - 15  iY/'; 
0 n — 10  — 15  iY/  --  25  iY/'. 
welche  alle  einander  gleich  sind  ; es  bleiben  also  zwei 
der  Grössen  iY|  , iY/,  IV^^"  unbestimmt,  und  man  kann 
setzen  : 
^,-SA;  <=5/-,';  IVr  = -2A-3f:, 
^ Giebt  man  nun  den  Ausdrücken  von  h,  h' , h'\  l,  l', 
I ' folgende  Form  : 
h N sin  (—  8t)  -f  iYj  sin  (30  t) 
-f  iY^  sin  (90°— 8t)  -f-  iYg  sin  (90° 30t) 
li  — N'  sin  (-  8.t)  -f  iY/  sin  (30  t) 
d-  iY/  sin  (90°  — 8t)  -f-  sin  1 90°  + 30  t),- 
1i'  ~ N''  sin  ( — 8 t)  + iY/'  sin  (30t) 
+ iY/'  sin  (900  _ 8^^  gjjj  . 
I — N cos  ( — 8 t)  + iYj  cos  (30/) 
+ iY^  cos  (90°  — 8t)  + N.,  cos  (90°  + 30t),- 
— iY'  cos  ( — 8t)  + iY/  cos  (30  t) 
+ iY/  cos  (90°  - 8 t)  + Nz  cos  (90°  + 30  t)  ; 
l"  — iY"  cos  (—8  t)  + iY/'  cos  (30t) 
+ N/'  cos  (90°  — 8 t)  + ,A^3"  cos  (90°  + 30t). 
so  werden  die  Werlhe  der  Goefficienten  : 
iY  =2/,-  iY,=5/j,-  A/  = 2r,-  iY3  = 5/,,- 
iY'  -3/,-  iY/zi5//,-  iY/=;3/',-  N^' -, 
iY"=;5/,-  iY/'  = - 2/j-3//,-  A'/'zz5/,-  iY3"zz 
-2/,-3//, 
worin  die  Grössen  C,  /*',  /j  , //,  +3  ^ /2'  willkürliche, 
von  einander  unabhängige  Gonstanten  bezeichnen.  Da 
ihre  Anzahl  der  Zahl  der  Differentialgleichungen  gleich 
ist , und  da  den  Dilferentialgleichungen  (I)  durch  Sub- 
stitution der  Ausdrücke  von  A,  /?/,  h'\  l.  /"  Genüge 
geleistet  \'vird,  so  sind  diese  die  vollständigen  Integrale 
der  gegebenen  Gleichungen. 
Die  Gonstanten  werden  bestimmt  durch  die  Werthe 
von  h , h\  h'\  l , /',  1"  zu  einer  gegebenen  Zeit.  Es  seien 
für  t — 0 diese  Werthe  Äj  , Ä/,  Ä/',  /^  , //,  //' , so 
hat  man 
K =2/' + 5.4,-  4 =2/+5+,- 
A/  =3/'+5//,  //  =3/+5//,- 
- 2/,  - 3//  ; = 5/-  2/,  - 3/,' , 
woraus  sich  ergiebt 
38 /' zz  2 Aj  + 3 A/  + 5 7i/' ,- 
38+  zz  2/j  + 3//  + 5//  ,- 
954  = 17 //i  — 3A/  — 5/r/',- 
95  4 — ni^  — 3 7/  — 5//',- 
190 //zz  — 6A,  + 29  7//  — 15  7//',- 
190  //=;  — 67j  + 29  7/  — 15//'. 
Es  lässt  sich  leicht  zeigen  , dass  die  allgemeine  Glei- 
chung für  g bei  einem  ternären  System  solcher  Glei- 
chungen immer  drei  reelle  Wurzeln  habe  ; selbst  wenn 
die  Planeten  sich  nicht  nach  einer  Richtung  bew'egen , 
indem  man  die  Gleichung  so  behandelt,  wie  ich  die 
cubische  Gleichung  zur  Bestimmung  der  Hauptumdre- 
hungsmomente eines  Körpers  in  T.  III,  N.  6,  des  Bul- 
letin behandelt  habe,  und  dass  in  dem  Falle,  dass  zwei 
Wurzeln  gleich  sind , zwei  der  dazu  gehörenden  iY 
v\  illkürlich  bleiben  , w odurch  die  Anzahl  der  Gonstan- 
ten vollzählig  wird.  Ob  übrigens  die  Abhängigkeit  der 
Goefficienten  der  Differentialgleichung  bei  ihrer  An- 
wendung auf  die  Astronomie  , die  Gleichheit  der  Wur- 
zeln der  numerischen  Gleichung  unmöglich  macht,  oder 
nicht , will  ich  nicht  entscheiden  , da  mein  Zweck  nur 
der  ist,  zu  zeigen,  dass  die  Behauptung  von  Laplace: 
die  Integration  eines  solchen  Systems  von  Differential- 
gleichungen führe  immer , wenn  zw  ei  Wurzeln  der  nu- 
merischen Gleichung  sich  gleich  sind  , auf  Kreisbögen  , 
die  der  Zeit  proportionirt  sind  ; wenigstens  bei  einem 
ternären  System  , irrig  sei.  In  unserm  Planetensystem 
kommt  übrigens  dieser  Fall  nicht  vor,  wie  aus  Pontd- 
c oui  ant’s  schöner  Arbeit  in  seiner  Tliéor.  anal,  du 
Systeme  du  monde.,  T.  III.,  p 389  und  395  erhellet. 
Es  wäre  noch  zu  beweisen,  dass  wenn  bei  einem  Sy- 
steme von  vier  oder  mehreren  solcher  Gleichungen, 
zwei  oder  mehrere  Wurzeln  der  numerischen  Gleichung 
gleich  wären  , dass  dann  auch  von  den  zu  dieser  Wur- 
zel gehörenden  iY  eben  so  viele  willkürlich  bleiben, 
wmdurch  die  Zahl  der  willkürlichen  Gonstantei»  voll- 
zählig wird  , und  dass  alle  Wurzeln  der  genannten  Glei- 
chung reell  sind , um  von  der  periodischen  Form  des 
Integrals  eines  solchen  Systems  von  Gleichungen  völlig 
überzeugt  zu  werden. 
